Derivate e equazione di D'Alembert

[calolillo]

Ciao a tutti, volevo porre un problemino cui ancora non riesco a venire a capo...parliamo di derivate:

Consideriamo la quantità $(\del^2x)/(\delz^2)-1/c^2\(del^2x)/\(delt^2)$ (qualcuno di voi avrà sicuramente già avuto il piacere di incontrarla) e scomponiamola:

$(\del^2x)/(\delz^2)-1/c^2\(del^2x)/\(delt^2)=((\delx)/(\delz)-1/c\(delx)/\(delt))((\delx)/(\delz)+1/c\(delx)/\(delt))$

che a sua volta può essere scritta come:

$((\delx)/(\del\xi)(\del\xi)/(\delz)-1/c\(delx)/\(del\xi)(\delxi)/(\delt))((\delx)/(\del\eta)(\del\eta)/(\delz)+1/c\(delx)/\(del\eta)(\del\eta)/(\delt))=(\delx)/(\del\xi)(delx)/\(del\eta)((\del\xi)/(\delz)-1/c(\delxi)/(\delt))((\del\eta)/(\delz)+1/c(\del\eta)/(\delt))$

che definendo $\xi::=z-ct$ e $\eta::=z+ct$ diventa

$(\delx)/(\del\xi)(delx)/\(del\eta)((\del\xi)/(\delz)-1/c(\delxi)/(\delt))((\del\eta)/(\delz)+1/c(\del\eta)/(\delt))=4(\del^2x)/(\del\xi\del\eta)$ (**)

essendo

$(\del\xi)/(\delz)-1/c(\delxi)/(\delt)=1-1/c*(-c)=2$ e $(\del\eta)/(\delz)+1/c(\del\eta)/(\delt)=1+1/c*c=2$

Ma percorriamo adesso un'altra strada:
sfruttando la linearità dell'operatore $\del$ scriviamo:

$\del/(\delz)=\del/(\del\xi)(\del\xi)/(\delz)$ e $\del/(\delz)=\del/(\del\eta)(\del\eta)/(\delz)$ da cui sommando membro a membro e dividendo per 2, $\del/(\delz)=1/2(\del/(\del\eta)+\del/(\del\xi))$ (1) e

$\del/(\delt)=\del/(\del\xi)(\del\xi)/(\delt)$ e $\del/(\delt)=\del/(\del\eta)(\del\eta)/(\delt)$ da cui sommando membro a membro e dividendo per 2c, $1/c\del/(\delt)=1/2(\del/(\del\xi)-\del/(\del\eta))$ (2)

Sottraendo i membri di (1) e (2) otteniamo

$\del/(\delz)-1/c\del/(\delt)=\del/(\del\eta)$ (3)

Sommando i membri di (1) e (2) otteniamo

$\del/(\delz)+1/c\del/(\delt)=\del/(\del\xi)$ (4)

Moltiplicando i membri di (3) e (4) e applicandoli a $x$ otteniamo

$((\delx)/(\delz)-1/c\(delx)/\(delt))((\delx)/(\delz)+1/c\(delx)/\(delt))=(\del^2x)/(\del\xi\del\eta)$

Risultato diverso dalla (**)! Dove sta l'errore??

P.S.: Per i curiosi la quantità sopraindicata è presente nell'equazione di D'Alembert (.wikipedia.org/wiki/Equazione_delle_onde)

[gugo82]

Questa:
\[
\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial \xi}{\partial z}\ \frac{\partial}{\partial \xi}
\]
non è vera; e nemmeno le altre quattro.

[calolillo]

Potresti spiegarmi perchè no gugo82? Per la regola di derivazione composta non dovrebbe essere $(\delg)/(\delx)=(\delg)/(\delf)(\delf)/(\delx)$?
Inoltre riconducendo il problema a un problema puramente algebrico (ad esempio ponendo $\del=a$, $x=b$, $\del\xi=d$, $\del\eta=f$, $\delt=g$, tutti numeri reali) si giunge allo stesso risultato errato...se come dici tu questa proprietà non vale per le derivate, deve valere per numeri reali (moltiplico e divido per lo stesso numero)...

[gio73]

non ho ben capito se c'entra, ma provo lo stesso a scrivere (una stupidaggine probabilmente)
$5/0*0/7=?$

[calolillo]

E' chiaro che il numero per cui moltiplichiamo e dividiamo debba essere diverso da 0, in questo caso non mi pare ci siano quantità nulle. E imponendo che tutte le quantità siano non nulle si arriva ancora alla stessa errata conclusione...Se allora sono presenti quantità nulle, come fare per arrivare ad ottenere l'espressione finale? (Che è sicuramente un multiplo di $(\del^2x)/(\del\xi\del\eta)$)

[calolillo]

Forse ho trovato l'inghippo...come suggerito da gio73 c'è una quantità nulla che è proprio la differenza $(\del)/(\del\xi)-(\del)/(\del\eta)=0$ infatti sono entrambi uguali a $(\del)/(\delt)$....e dire che questo (il secondo) procedimento è stato quello utilizzato dal prof. in aula...penso che il primo (il mio) sia corretto a questo punto...

[gugo82]

Il problema è che dalla legge di variazione dell'operatore differenziale:
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{\partial \xi}{\partial z}\ \frac{\partial}{\partial \xi}
\]
si desume che \(z\) dipende solo dalla variabile \(\xi\); ma ciò non è in generale vero, poiché \(z=z(\xi, \eta)\).
Inoltre l'uguaglianza precedente è in netto contrasto con la relazione:
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{\partial \eta}{\partial z}\ \frac{\partial}{\partial \eta}\; ,
\]
dalla quale, allo stesso modo, si desume che \(z\) è funzione solo di \(\eta\).

In generale, è vero che il gioco con gli operatori differenziali è solo simbolico; però devi sempre tenere presente che quei simboli un significato ce l'hanno e non possono essere manipolati a casaccio.

In generale, se:
\[
\begin{cases}
z=z(\xi ,\eta)\\
t=t(\xi, \eta)
\end{cases}
\]
allora:
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{\partial \xi}{\partial z}\ \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial z}\ \frac{\partial}{\partial \eta}\quad \text{e} \quad \frac{\partial }{\partial t} = \frac{\partial \xi}{\partial t}\ \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial t}\ \frac{\partial}{\partial \eta}
\]
ove le derivate che figurano sono quelle della trasformazione:
\[
\begin{cases}
\xi = \xi (z,t)\\
\eta = \eta (z,t)
\end{cases}
\]
che inverte la precedente.

[calolillo]

Pardon...ora è chiaro, dunque sia il primo che il secondo procedimento sono errati. Come dimostrare allora che scrivere la

$(\del^2x)/(\delz^2)-1/c^2(\del^2x)/(\delt^2)=0$ equivale a scrivere $(\del^2x)/(\del\xi\del\eta)=0$ ?

[calolillo]

Ok...forse adesso ci siamo:

$(\del)/(\delz)=(\del)/(\del\xi)(\del\xi)/(\delz)+(\del)/(\del\eta)(\del\eta)/(\delz)=(\del)/(\del\xi)+(\del)/(\del\eta)$

$(\del)/(\delt)=(\del)/(\del\xi)(\del\xi)/(\delt)+(\del)/(\del\eta)(\del\eta)/(\delt)=c((\del)/(\del\eta)-(\del)/(\del\xi))$
sostituendo:
$((\del)/(\delz)-1/c(\del)/(\delt))((\del)/(\delz)+1/c(\del)/(\delt))=2(\del)/(\del\xi)2(\del)/(\del\eta)=4(\del^2)/(\del\xi\del\eta)$

[gugo82]

Ok.

Un'altra nota veloce.
La "scomposizione" che scrivi è ambigua, perchè può essere confusa con un prodotto di funzioni.

Dovresti cercare di usare una notazione meno ambigua: ad esempio, potresti scrivere che il dalambertiano \(\square := \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2}\) si fattorizza come:
\[
\square := \left( \frac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{c}\ \frac{\partial }{\partial t}\right)\ \left( \frac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{c}\ \frac{\partial }{\partial t} \right)
\]
nel senso degli operatori differenziali (N.B.: Ho del tutto omesso la funzione cui gli operatori sono applicati, così da evitare confusione).

[calolillo]

Chiaro! Grazie della lezione gugo