Derivate e differenziale

[attila3]

1) il differenziale primo della funzione f(x)= 2*(sqrtx^2+3)- (ln(x+1)) nel punto x con 0=1 è: 4-ln2; 1/2; y=1/2*x-1/2
2) la retta di equazione y= mx è tangente al grafico di y= lnx per m= 1; e; 1/e; o.
3) L'elasticità della funzione f(x)=x^3*e?2x è: 2x+3; 3x+2; 3x^2+2e^2x; 6x.
4) calcolare le derivate seconde delle seguenti funzioni:
i) f(x)= 1/2*(x+sin x cos x)
ii) f(x)= sin x tutto fratto 1+ cos x
iii) f(x)= x-e^x tutto fratto x+e^x

5) f(x)= 3a^2*x^3+2a, x>1
e^(2x^2-3x+1), x<=1
determinare per quali valori del parametro a la funzione risulta;
i) continua;
ii) derivabile

6) verificare che la funzione:
p(x)= a con 0+a con 1*(x-c)+a con 2*(x-c)^2+...+acon n*(x-c)^n
la derivata j-esima (per j= 1, 2, ..., n) calcolata in x con 0=c è D^j*(p(c))=j!a con j = (1*2*3*...*(j-1)*j)a con j

7) si mostri che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari.
suggerimento: se f è pari, allora f(x)= f(-x) per ogni x. Quindi in particolare f(-x)-f(-a) tutto fratto (-x)-(-a)= f(x)-f(a)
tutto fratto x-a.

[Pachito1]

1) 1/2
2) 1/e
3) cos'è l'elasticità di una funzione?
4)
i - 2·SIN(x)·COS(x)
ii SIN(x)/(COS(x) + 1)^2
iii non mi va... io passo
5)
i) continua per a=-1 e a=1/3
ii) derivabile per a=1/3
6) In x0=c sopravvive solo il termine noto della derivata j-esima che è il j-esimo elemento del polinomio.
Derivando j volte, ogni volta moltiplico il j-esimo elemento del polinomio per l'ordine della derivata.
7) il suggerimento è la soluzione se non ci fosse un errore di segno nell'ultima riga.

[vecchio1]

iii)

    x   x            2              

 2*ê *(ê *(x - 2) - x  + 2*(x - 1)) 

____________________________________

                x     3             

              (ê  + x)

il vecchio



Modificato da - vecchio il 12/03/2004 23:57:23

Modificato da - vecchio il 13/03/2004 00:00:25

[attila3]

citazione:

---

1) 1/2
2) 1/e
3) cos'è l'elasticità di una funzione?
4)
i - 2·SIN(x)·COS(x)
ii SIN(x)/(COS(x) + 1)^2
iii non mi va... io passo
5)
i) continua per a=-1 e a=1/3
ii) derivabile per a=1/3
6) In x0=c sopravvive solo il termine noto della derivata j-esima che è il j-esimo elemento del polinomio.
Derivando j volte, ogni volta moltiplico il j-esimo elemento del polinomio per l'ordine della derivata.
7) il suggerimento è la soluzione se non ci fosse un errore di segno nell'ultima riga.

QUALCUNO SA TUTTI I PASSAGGI DEL NUMERO 5??

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[Pachito1]

Per essere continua la funzione deve essere (molto rozzamente)

lim f(x) = lim f(x)
x->1+ x->1-

Cioè i due rami della funzione in 1 devono assumere lo stesso valore.

e^(2(1)^2-3(1)+1)= 1 ergo 3a^2*(1)^3+2a=1 da cui a=-1 e a=1/3

Per la derivabilità sostituisci questi valori dentro la funzione (perchè se una f non è continua non è nemmeno derivabile) e come prima:

lim f'(x) = lim f'(x)
x->1+ x->1-

IN REALTA' non dovresi derivare e poi fare il limite è PECCATO MORTALE.
Il limite è quello del rapporto incrementale (f(x)-f(1))/(x-1)

[Asimov1]

Mi sembra di ricordare un teorema che dice che se la funzione è continua in x0 allora si può fare il limite della derivata o sbaglio?

[Pachito1]

Si è corretto, infatti nella risoluzione del problema ho esplicitamente utilizzato le derivate.
Tuttavia in questi esercizi spesso capita di trovare richiesto solo i valori dei parametri per cui la funzione è derivabile. In questi casi è necessario utilizzare il rapporto incrementale. Per rimarcare questo fatto e indurre Attila a soffermarsi su questo aspetto degli esercizi ho voluto spendere due parole in più.



Modificato da - pachito il 14/03/2004 15:42:15

[Asimov1]

Grazie Pachito