Derivate distribuzionali
$x(t)= P4(t) (t^2-4)
devo calcolarmi la derivata di $x(t)
$P4(t)$ è la porta di ampiezza 4.
ciaoè la derivata della porta la so fare: $delta(t+2)-delta(t-2)
poi quando vado a fare la derivata del secondo per la non derivata del primo sono problemi
devo calcolarmi la derivata di $x(t)
$P4(t)$ è la porta di ampiezza 4.
ciaoè la derivata della porta la so fare: $delta(t+2)-delta(t-2)
poi quando vado a fare la derivata del secondo per la non derivata del primo sono problemi
Risposte
In che senso sono problemi?
Viene:
$2t P4(t)$
O mi sfugge qualche cosa?
Viene:
$2t P4(t)$
O mi sfugge qualche cosa?
si ok ci siamo però come la si svolge scritta così?:
$x'(t)=(delta(t+2)-delta(t-2))(t^2 - 4)+ 2tP4(t) $
$x'(t)=(delta(t+2)-delta(t-2))(t^2 - 4)+ 2tP4(t) $
Io la lascerei scritta cosi....
e basta? si può?
e poi con quest'altra p.e.
$x(t)=sign(t)e^(2t-1)$
$x'(t)=2delta(t)e^(2t-1)+sign(t)2(2t-1)e^(2t-1)?
$x(t)=sign(t)e^(2t-1)$
$x'(t)=2delta(t)e^(2t-1)+sign(t)2(2t-1)e^(2t-1)?
"Bandit":
e basta? si può?
Cosa intendi dire? Lo puoi lasciare nella forma che vuoi...
"Bandit":
e poi con quest'altra p.e.
$x(t)=sign(t)e^(2t-1)$
$x'(t)=2delta(t)e^(2t-1)+sign(t)2(2t-1)e^(2t-1)?
Si mi sembra giusta.
se siamo in questo caso: calcola la derivata seconda nel senso delle distribuzioni del segnale
$x(t)=$
$t^2$ per t<=-1
$1$ per -1<=t<=1
$t$ per t>=1
mi calcolo le derivate prime che sono rispettivamente
$2t$
$0$
$1$ poi come faccio a calcolarmi il $delta"?
e poi una volta calcolatmi il $delta$ come proseguo per la derivata seconda?
$x(t)=$
$t^2$ per t<=-1
$1$ per -1<=t<=1
$t$ per t>=1
mi calcolo le derivate prime che sono rispettivamente
$2t$
$0$
$1$ poi come faccio a calcolarmi il $delta"?
e poi una volta calcolatmi il $delta$ come proseguo per la derivata seconda?
Per le funzioni definite a tratti la regola e' molto semplice:
$ f(x) = {(f_1(x) \qquad x \in (a,b)),(f_2(x) \qquad x \in (b,c)):} $
Posto $A=(a,b)$ e $B=(b,c)$, si usa la definizione di derivata per le distribuzioni:
$ < f'(x) , \phi > = - < f(x) , \phi > = - \int_A f_1(x) \phi' - \int_B f_2(x) \phi' = \int_A f_1'(x) \phi + \int_B f_2'(x) \phi + \phi(b) [ f_2(b) - f_1(b) ] $ (*)
Integrando ripetutamente per parti e ricordando che $\phi$ ha supporto compatto. Quindi si ha che:
$ f'(x) = {(f_1'(x) \qquad x \in (a,b)),(f_2'(x) \qquad x \in (b,c)):} + (f_2(b)-f_1(b)) \delta(x-b) $
Ovvero la derivata distribuzionale non e' che quella classica fatta sulle funzioni $f_1$ ed $f_2$ piu' una delta centrata in $b$ moltiplicata dal valore del salto fra $f_1$ ed $f_2$.
Nel tuo caso la derivata seconda viene:
$ x''(t) = {(2 \qquad t \leq -1),(0 \qquad t \geq -1):} + 2 \delta(x+1) + delta(x-1) $
--------------------------------------------------------
(*) nell'ipotesi che il salto fra $f_1$ ed $f_2$ sia finito!
$ f(x) = {(f_1(x) \qquad x \in (a,b)),(f_2(x) \qquad x \in (b,c)):} $
Posto $A=(a,b)$ e $B=(b,c)$, si usa la definizione di derivata per le distribuzioni:
$ < f'(x) , \phi > = - < f(x) , \phi > = - \int_A f_1(x) \phi' - \int_B f_2(x) \phi' = \int_A f_1'(x) \phi + \int_B f_2'(x) \phi + \phi(b) [ f_2(b) - f_1(b) ] $ (*)
Integrando ripetutamente per parti e ricordando che $\phi$ ha supporto compatto. Quindi si ha che:
$ f'(x) = {(f_1'(x) \qquad x \in (a,b)),(f_2'(x) \qquad x \in (b,c)):} + (f_2(b)-f_1(b)) \delta(x-b) $
Ovvero la derivata distribuzionale non e' che quella classica fatta sulle funzioni $f_1$ ed $f_2$ piu' una delta centrata in $b$ moltiplicata dal valore del salto fra $f_1$ ed $f_2$.
Nel tuo caso la derivata seconda viene:
$ x''(t) = {(2 \qquad t \leq -1),(0 \qquad t \geq -1):} + 2 \delta(x+1) + delta(x-1) $
--------------------------------------------------------
(*) nell'ipotesi che il salto fra $f_1$ ed $f_2$ sia finito!
il delta io me lo calcolo facendo il limite destro al punto di discontinuità - il limite sinistro al punto di discontinuità.
Ora come hai risolto?
quali sono stati i passaggi? ho capito come viene fuori 2 e 0 ma non il delta successivo a quello iniziale
grazie
Ora come hai risolto?
quali sono stati i passaggi? ho capito come viene fuori 2 e 0 ma non il delta successivo a quello iniziale
grazie
Ho "fatto il limite" destro e sinistro su tutti i punti di discontinuita'. Uso le virgolette perche' in realta' non sono stato a calcolare il limite ma mi sono limitato a guardare in faccia la $x'(t)$.
Detto in parole povere se hai una funzione del tipo:
$ f(x)={(f_1(x) \qquad x \in (a,b)),(f_2(x) \qquad x \in (b,a)):}$
Il salto non e' altro che:
$ f_2(b)-f_1(b) $
Quindi nel caso del primo salto del tuo esercizio e':
$ 0-2t $
calcolato in $t=-1$
Ovvero:
$2$.
Nel caso in cui o $f_1$ o $f_2$ non sono continue in $b$ per cui non le si puo' calcolare direttamente in quel punto, occorre fare i limiti, da sinistra e da destra rispettivamente.
Detto in parole povere se hai una funzione del tipo:
$ f(x)={(f_1(x) \qquad x \in (a,b)),(f_2(x) \qquad x \in (b,a)):}$
Il salto non e' altro che:
$ f_2(b)-f_1(b) $
Quindi nel caso del primo salto del tuo esercizio e':
$ 0-2t $
calcolato in $t=-1$
Ovvero:
$2$.
Nel caso in cui o $f_1$ o $f_2$ non sono continue in $b$ per cui non le si puo' calcolare direttamente in quel punto, occorre fare i limiti, da sinistra e da destra rispettivamente.
quindi i vari $delta$ me li trovo grazie solo alle derivate prime, giusto?
facendo così mi trovo con il risultato
facendo così mi trovo con il risultato
"Bandit":
quindi i vari $delta$ me li trovo grazie solo alle derivate prime, giusto?
facendo così mi trovo con il risultato
Oltre a voler qutotare la domanda, da cui dipende anche il risultato della seguente, ti chiedo:
Calcola la derivata seconda di $|t-1| + u(t)t^2 $
con $ u(t)$ indico il gradino unitario
io mi trovo alla fine
x''(t) = ${(2, t> 1),(0 , t<-1):} - 4delta(x-1)$
ho fatto bene?
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