Derivate direzionali su direzioni indipendenti
Ciao a tutti, ho già trovato sul forum una pagina di un argomento simile ma non ho compreso bene.
In sostanza vorrei porvi la seguente domanda:
data una f (per semplicità a due variabili) differenziabile in x0 allora essa è ben approssimabile localmente da un piano passante per x0 che è definito piano tangente a f in x0.
Questo implica che esistono le derivate direzionali (tutte, lungo qualunque retta e a maggior ragine esistono le derivate parziali).
Infatti la funzione localmente manifesta un comportamento "coerente" di tutte le sue derivate direzionali: cioè, da come ho capito, le rette tangenti al punto sulle restrizioni di f lungo ogni direzione stanno tutte su uno stesso piano (e le derivate sono i coeff. angolari di queste rette).
Questo spiega, geometricamente, la validità intuitiva della formula del gradiente
Dvf= fxv1 + fyv2
(con v1,v2 componenti del versore generico v lungo cui si considera la derivata direzionale e con fx, fy rispettivamente le due derivate parziali rispetto a x e a y ).
Mi chiedevo: cosa hanno di speciale queste derivate parziali? Se scegliessimo altre due derivate (sempre in ipotesi di f differenziabile) lungo due direzioni lineramente indipendenti potremmo "spannare" lo stesso il piano tangente, no?
Un vettore che raccogliesse due derivate direzionali generiche su direzioni lin. indip. cosa rappresenterebbe di diverso da un gradiente?
Esso sarebbe ancora in qualche modo indicatore della direzione di massima crescita di f?
Io immagino di sì, solo che è un vettore scritto in "basi" diverse, corretto?
La seconda cosa non chiara era che nel post che ho citato sopra in apertura si alludeva invece non solo alla lineare indipendenza delle direzioni ma anche (e precipuamente) alla loro ORTOGONALITA' cioè al fatto che (essendo versori convenzionalmente ) le direzioni delle due derivate direzionali dovevano essere anche ortogonali e quindi rappresentare basi ortonormali. Perché questa richiesta aggiuntiva?
Grazie moltissimo, ciao a tutti!
In sostanza vorrei porvi la seguente domanda:
data una f (per semplicità a due variabili) differenziabile in x0 allora essa è ben approssimabile localmente da un piano passante per x0 che è definito piano tangente a f in x0.
Questo implica che esistono le derivate direzionali (tutte, lungo qualunque retta e a maggior ragine esistono le derivate parziali).
Infatti la funzione localmente manifesta un comportamento "coerente" di tutte le sue derivate direzionali: cioè, da come ho capito, le rette tangenti al punto sulle restrizioni di f lungo ogni direzione stanno tutte su uno stesso piano (e le derivate sono i coeff. angolari di queste rette).
Questo spiega, geometricamente, la validità intuitiva della formula del gradiente
Dvf= fxv1 + fyv2
(con v1,v2 componenti del versore generico v lungo cui si considera la derivata direzionale e con fx, fy rispettivamente le due derivate parziali rispetto a x e a y ).
Mi chiedevo: cosa hanno di speciale queste derivate parziali? Se scegliessimo altre due derivate (sempre in ipotesi di f differenziabile) lungo due direzioni lineramente indipendenti potremmo "spannare" lo stesso il piano tangente, no?
Un vettore che raccogliesse due derivate direzionali generiche su direzioni lin. indip. cosa rappresenterebbe di diverso da un gradiente?
Esso sarebbe ancora in qualche modo indicatore della direzione di massima crescita di f?
Io immagino di sì, solo che è un vettore scritto in "basi" diverse, corretto?
La seconda cosa non chiara era che nel post che ho citato sopra in apertura si alludeva invece non solo alla lineare indipendenza delle direzioni ma anche (e precipuamente) alla loro ORTOGONALITA' cioè al fatto che (essendo versori convenzionalmente ) le direzioni delle due derivate direzionali dovevano essere anche ortogonali e quindi rappresentare basi ortonormali. Perché questa richiesta aggiuntiva?
Grazie moltissimo, ciao a tutti!
Risposte
Sei sulla buona strada. Per capire proprio a fondo queste cose ci vorrebbe la geometria Riemanniana, che dà una definizione di "gradiente" indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate.
EDIT: abbiamo parlato di questo argomento altre volte in passato, qui per esempio:
link
anche qui, dove però si parte da un punto di vista più avanzato: viewtopic.php?p=836304#p836304
EDIT: abbiamo parlato di questo argomento altre volte in passato, qui per esempio:
link
anche qui, dove però si parte da un punto di vista più avanzato: viewtopic.php?p=836304#p836304
Grazie dissonance della reply e dei link indicati (che mi ero perso in effetti ).
Da quanto scritto in quei link:
meck: "io avevo capito che considerando un nuovo sistema di assi cartesiani ortogonali X', Y', ruotato attorno al centro O di un angolo arbitrario alfa, la direzione del gradiente nel nuovo sistema coincidesse sempre con quella del vettore gradiente avente per componenti le derivate parziali calcolate lungo gli assi x,y del sistema di riferimento iniziale. "
Alexp: "Si, il grad nelle nuove coordinate punta ancora la direzione del grad delle vecchie...ed avrà sempre direzione uguale alla diagonale del rettangolo nelle nuove coordinate"
deduco che il gradiente è scrivibile o con le derivate parziali oppure con altre derivate direzionali tramite le basi del sistema di riferimento di queste.
In altri termini basta scomporre il vettore gradiente lungo diverse direzioni INDIPENDENTI ed esso avrà per componenti altre derivate direzionali.
La cosa che ancora mi sfugge acnora è: perché queste direzioni debbono essere non solo indipendenti (che è, direi, ovvio) ma pure ortogonali?
Credo che la risposta risieda in:
dissonance: " Quando prendi derivate direzionali, se le direzioni non sono ortonormali ottieni una informazione spendibile in un altro sistema di coordinate cartesiane, quello duale al sistema dato. (*) Risulta ora che le coordinate ortonormali sono tutti e soli i sistemi di coordinate cartesiane che coincidono con i propri duali, quindi in questi sistemi il problema non si pone. Ecco perché si considerano sempre e solo sistemi di coordinate ortonormali. "
dalla nota in calce al post mi pare di capire che una base del duale altro non sia che una base ortonormale di uno spazio ortogonale a quello di partenza (mi pare cioè che l'uso del simbolo delta (o di Kronecher) sia quello usuale).
Ecco: non mi è molto chiaro del come mai " le coordinate ortonormali sono tutti e soli i sistemi di coordinate cartesiane che coincidono con i propri duali" ?
Poi, sfortunatamente, un'altra parte essenziale non si legge più bene (problema con latex o formattazione del forum):
dissonace: "Vogliamo dare una dimostrazione diretta di questo fatto?... [omissis]... il gradiente si modifica secondo la stessa regola che permette di passare da un sistema di coordinate all'altro. Nota bene: è stato fondamentale assumere ortogonalità della matrice A , ovvero ortonormalità dei due sistemi di coordinate. "
E quindi lì mi perdo... perché serve l'ortonormalità della base da scegliere (cioè delle direzioni lungo cui derivare) e non basta la lineare indipendenza?
Grazie ciao a tutti!
Da quanto scritto in quei link:
meck: "io avevo capito che considerando un nuovo sistema di assi cartesiani ortogonali X', Y', ruotato attorno al centro O di un angolo arbitrario alfa, la direzione del gradiente nel nuovo sistema coincidesse sempre con quella del vettore gradiente avente per componenti le derivate parziali calcolate lungo gli assi x,y del sistema di riferimento iniziale. "
Alexp: "Si, il grad nelle nuove coordinate punta ancora la direzione del grad delle vecchie...ed avrà sempre direzione uguale alla diagonale del rettangolo nelle nuove coordinate"
deduco che il gradiente è scrivibile o con le derivate parziali oppure con altre derivate direzionali tramite le basi del sistema di riferimento di queste.
In altri termini basta scomporre il vettore gradiente lungo diverse direzioni INDIPENDENTI ed esso avrà per componenti altre derivate direzionali.
La cosa che ancora mi sfugge acnora è: perché queste direzioni debbono essere non solo indipendenti (che è, direi, ovvio) ma pure ortogonali?
Credo che la risposta risieda in:
dissonance: " Quando prendi derivate direzionali, se le direzioni non sono ortonormali ottieni una informazione spendibile in un altro sistema di coordinate cartesiane, quello duale al sistema dato. (*) Risulta ora che le coordinate ortonormali sono tutti e soli i sistemi di coordinate cartesiane che coincidono con i propri duali, quindi in questi sistemi il problema non si pone. Ecco perché si considerano sempre e solo sistemi di coordinate ortonormali. "
dalla nota in calce al post mi pare di capire che una base del duale altro non sia che una base ortonormale di uno spazio ortogonale a quello di partenza (mi pare cioè che l'uso del simbolo delta (o di Kronecher) sia quello usuale).
Ecco: non mi è molto chiaro del come mai " le coordinate ortonormali sono tutti e soli i sistemi di coordinate cartesiane che coincidono con i propri duali" ?
Poi, sfortunatamente, un'altra parte essenziale non si legge più bene (problema con latex o formattazione del forum):
dissonace: "Vogliamo dare una dimostrazione diretta di questo fatto?... [omissis]... il gradiente si modifica secondo la stessa regola che permette di passare da un sistema di coordinate all'altro. Nota bene: è stato fondamentale assumere ortogonalità della matrice A , ovvero ortonormalità dei due sistemi di coordinate. "
E quindi lì mi perdo... perché serve l'ortonormalità della base da scegliere (cioè delle direzioni lungo cui derivare) e non basta la lineare indipendenza?
Grazie ciao a tutti!
Lascia stare quella discussione con meck, è vecchia, all'epoca pure io non avevo le idee chiare (non che adesso le abbia, ma un po' meglio va).
Meglio leggere il secondo link, è più recente. Lì troverai la formulazione del gradiente in un sistema di coordinate qualunque. Puoi vedere che spunta una matrice $g_{ij}$. Questa matrice dipende dal sistema di coordinate ed è uguale alla matrice identica se e solo se il sistema di coordinate è ortonormale.
Ciò dimostra che il gradiente ha la formulazione "solita" di "vettore delle derivate parziali" se e solo se ci siamo messi in un sistema di coordinate ortonormali.
Per capire questo fenomeno sul gradiente bisogna capire questa matrice $g_{ij}$. Si chiama "metrica" o "tensore metrico". Leggi qualcosa al riguardo su questo libro, se ti va:
https://books.google.fr/books?id=8FVk_K ... &q&f=false
(dovrebbe spuntarti già la pagina giusta)
Meglio leggere il secondo link, è più recente. Lì troverai la formulazione del gradiente in un sistema di coordinate qualunque. Puoi vedere che spunta una matrice $g_{ij}$. Questa matrice dipende dal sistema di coordinate ed è uguale alla matrice identica se e solo se il sistema di coordinate è ortonormale.
Ciò dimostra che il gradiente ha la formulazione "solita" di "vettore delle derivate parziali" se e solo se ci siamo messi in un sistema di coordinate ortonormali.
Per capire questo fenomeno sul gradiente bisogna capire questa matrice $g_{ij}$. Si chiama "metrica" o "tensore metrico". Leggi qualcosa al riguardo su questo libro, se ti va:
https://books.google.fr/books?id=8FVk_K ... &q&f=false
(dovrebbe spuntarti già la pagina giusta)
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