Derivate direzionali lungo ogni direzione

[gbspeedy]

ho una funzione $f(x,y)$ e voglio verificare se ammetto derivate direzionali lungo ogni direzione in un punto $(x_0,y_0)$
verifico se è differenziabile nel punto.
nel caso che non lo fosse non posso dire che non ammette derivate direzionali.
ma se la differenziabilità non vale perchè una delle derivate parziali non esiste finita posso dirlo?

[gbspeedy]

ad esempio $f(x,y)=(x(y-log(1+y)))/((x^2+y^2))$ se $(x,y)!=(0,0)$ e $0$ se $(x,y)=(0,0)$

non è differenziabile nell'origine ma non posso dire che non ammette derivate direzionali lungo ogni direzione.
devo calcolare $D_(v)f(0,0)=lim_(h->0) (f(hcostheta,hsintheta)-f(0,0))/h$ con $v=(costheta,sintheta)$ ?

[walter891]

la regola generale è proprio questa, però se ti accorgi subito che manca una delle derivate parziali puoi dire che allora la funzione non è derivabile in quel punto

[gbspeedy]

quindi se ad esempio ho $f(x,y)=(log(1+x^2)-log(1+y^2))/(x-y)$ e devo dimostrare in quali punti della retta $y=x$ è derivabile in ogni direzione.
studio la differenziabilità in $(x_0,y_0)$ e mi viene:
$ (partialf)/(partialx) (x_0,y_0)=lim_(h->0) (log(1+(x_0+h)^2))/(h(x_0+h))$
distinguo i casi: se $x_0!=0$ $lim_(h->0) (log(1+(x_0)^2))/(h(x_0))=oo$ e quindi non è derivabile?