Derivate direzionali in n-dimensioni
Ciao a tutti, mi sto scervellando su un esercizio riguardante il calcolo differenziale:
Sia $f:\mathbb{R}^{n} \setminus {0} \to {R}$, $n \ge 1$
dove $|x| = (x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2})^{1/2}$. Calcolare in un generico punto $x \ne 0$ la derivata direzionale di $f$ lungo la direzione $v = \frac{\grad f(x)}{|\grad f(x)|}$.
Ho già verificato che la funzione è differenziabile per ogni $x \ne 0$. Però ora non so come scrivere la derivata direzionale.
Qualcuno sa darmi una mano?
Sia $f:\mathbb{R}^{n} \setminus {0} \to {R}$, $n \ge 1$
$f(x) = 1/|x|$
dove $|x| = (x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2})^{1/2}$. Calcolare in un generico punto $x \ne 0$ la derivata direzionale di $f$ lungo la direzione $v = \frac{\grad f(x)}{|\grad f(x)|}$.
Ho già verificato che la funzione è differenziabile per ogni $x \ne 0$. Però ora non so come scrivere la derivata direzionale.
Qualcuno sa darmi una mano?
Risposte
"Borto":
Ciao a tutti, mi sto scervellando su un esercizio riguardante il calcolo differenziale:
Sia $f:\mathbb{R}^{n} \setminus {0} \to {R}$, $n \ge 1$
$f(x) = 1/|x|$
dove $|x| = (x_{1}, ... , x_{n})^{1/2}$.
Semmai \(|x| = \sqrt{x\cdot x}\), dove \((u,v)\mapsto u\cdot v = \sum u_i v_i\) è il prodotto scalare standard di $\mathbb R^n$.
Calcolare in un generico punto $x \neq 0$ la derivata direzionale di $f$ lungo la direzione $v = \frac{\grad F}{|\grad f|}$.
Ho già verificato che la funzione è differenziabile per ogni $x \neq 0$. Però ora non so come scrivere la derivata direzionale.
Qualcuno sa darmi una mano?
$F$ è in realtà $f$ oppure un altro campo? Nel primo caso ti verrà sempre \(|\nabla f|\): perché?
Ho fatto degli errori di battitura: provvedo a correggere
La risposta non cambia, perché non dipende dalla forma di $f$.
La derivata direzionale di $f$ lungo \(\vec v\) si calcola come \(\vec u_v \cdot\nabla f\), dove $\nabla f$ è il gradiente di $f$, \(\vec u_v\) è il versore di $v$ (cioè \(\frac{v}{|v|}\)) e $\cdot$ il prodotto scalare. Il tuo $v$ è già un versore, quindi si tratta di scrivere \(\nabla f \cdot \frac{\nabla f}{|\nabla f|} = |\nabla f|\) e fare poi un conto tedioso trovando il modulo del gradiente di $f$ (un caso particolare, tipo $n=3$ è istruttivo su come indurre ad $n$ generico): per $n=3$ si ha appunto
\[
|\nabla f| = \frac{\sqrt{3}}{2 \left( x+y+z\right) ^{3/2}}
\] Ovviamente non sono né scemo né -quel che è peggio- un analista, ho fatto fare il conto a Mathematica.
La derivata direzionale di $f$ lungo \(\vec v\) si calcola come \(\vec u_v \cdot\nabla f\), dove $\nabla f$ è il gradiente di $f$, \(\vec u_v\) è il versore di $v$ (cioè \(\frac{v}{|v|}\)) e $\cdot$ il prodotto scalare. Il tuo $v$ è già un versore, quindi si tratta di scrivere \(\nabla f \cdot \frac{\nabla f}{|\nabla f|} = |\nabla f|\) e fare poi un conto tedioso trovando il modulo del gradiente di $f$ (un caso particolare, tipo $n=3$ è istruttivo su come indurre ad $n$ generico): per $n=3$ si ha appunto
\[
|\nabla f| = \frac{\sqrt{3}}{2 \left( x+y+z\right) ^{3/2}}
\] Ovviamente non sono né scemo né -quel che è peggio- un analista, ho fatto fare il conto a Mathematica.
si tratta di scrivere $\grad f⋅\frac{\grad f}{|∇f|}=|∇f|$
Questo perchè con la velocità che abbiamo $|\frac{\partial f(x)}{\partial v}| = |\langle \grad f(x), v \rangle| = \langle |\grad f(x)|,|v| \rangle = |\grad f(x)|$, giusto?
Si può aggiungere che in generale, siccome la funzione arriva in $\mathbb{R}$ allora se $f$ è differenziabile possiamo scrivere $df(x)v = \langle \grad f(x), v \rangle$ e la derivata direzionale si può calcolare con la formula $\frac{\partial f(x)}{\partial v} = \langle \grad f(x), v \rangle$. Se poi poniamo $|v|=1$ allora $|\frac{\partial f(x)}{\partial v}| = |\langle \grad f(x), v \rangle| \le \langle |\grad f(x)|,|v| \rangle = |\grad f(x)|$.
Quindi è giusto dire che la velocità che mi fornisce il testo è anche quella massima?
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