Derivate direzionali e continuità

[Rebdiluca]

Ciao, ho da svolgere il seguente esercizio:

Data la funzione $ { ( (x^2y)/(x^6+2y^2) per(x,y)\ne(0,0) ),( 0 per(x,y)\ne(0,0) ):} $, provare che esistono le derivate direzionali $ (partial f)/(partial v)(0,0) $ per ogni direzione di $ v \in R^2 $ ma che la funzione non è continua nell'origine.

Per quanto riguarda il secondo punto, penso si possa svolgere così:

$ lim_(x->0) (mx^3)/(x^6+2m^2x^2)=1/(2m) $ , quindi dato che il limite dipende dalla retta scelta, questo non esiste.

Sul primo punto ho un po' di difficoltà, ma sono partito dalla definizione di derivata direzionale:

$ lim_(t->0) (f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y))/(t)=lim_(t->0) (f(tv_1,tv_2))/(t) $

Sostituendo, ottengo:

$ lim_(t->0) (t(t(v_1)^2+(v_2)^2))/(t^3(t^4(v_1)^6+2(v_2)^2))=lim_(t->0) ((t(v_1)^2+(v_2)^2))/(t^2(t^4(v_1)^6+2(v_2)^2)) $

Arrivato qui, penso di poter dire che:

$ ((t(v_1)^2+(v_2)^2))/(t^2(t^4(v_1)^6+2(v_2)^2))<=(t(v_1)^2+(v_2)^2)/(t^4(v_1)^6+2(v_2)^2) $ che per $ t->0 rArr 1/2 $

A questo punto non riesco più a muovermi, potreste darmi un consiglio? Grazie!

[Rebdiluca]

Ho preso un abbaglio tremendo: quel limite in realtà fa $ (v_1)^2/(2(v_2)^2) $, quindi chiaramente esiste per ogni direzione del vettore. Scusate per il disturbo.