Derivate direzionali ,dubbio sull'esistenza.
Buongiorno vi presento un esercizio su cui ho un fortissimo dubbio
Calcolare, se esiste, la derivata direzionale della funzione in (0; 0) lungo direzione e verso del vettore
v = (3=5; 4=5).
della funzione
\(f(x,y)=\frac{(x^2-y^2)}{|x|+|y|}\) \((x,y)\ne (0,0)\)
\(0\) \((x,y)=(0,0)\)
quello che ho fatto è applicare la definizione
\[Dv f(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{(x0+ha,y0+hb)-f(x0,y0)}{h}\]
solo che la derivata parziale mi viene +1/5 per h>0 e -1/5 per h<0..questo implica che la derivata direzionale non esiste? se si perchè? per quale teorema?
Calcolare, se esiste, la derivata direzionale della funzione in (0; 0) lungo direzione e verso del vettore
v = (3=5; 4=5).
della funzione
\(f(x,y)=\frac{(x^2-y^2)}{|x|+|y|}\) \((x,y)\ne (0,0)\)
\(0\) \((x,y)=(0,0)\)
quello che ho fatto è applicare la definizione
\[Dv f(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{(x0+ha,y0+hb)-f(x0,y0)}{h}\]
solo che la derivata parziale mi viene +1/5 per h>0 e -1/5 per h<0..questo implica che la derivata direzionale non esiste? se si perchè? per quale teorema?
Risposte
Il vettore è questo: $v=(3/5,4/5)$? Dunque, si ha
$\frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f({3h}/{5},{4h}/{5})-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\ 1/h\ \frac{-{7h^2}/{25}}{{7|h|}/5}=\lim_{h\to 0}\ -{h}/{5|h|}$
e pertanto il limite destro e sinistro presentano segni diversi a causa del valore assoluto. Pertanto la derivata non esiste.
P.S: comunque i segni vengono al contrario.
$\frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f({3h}/{5},{4h}/{5})-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\ 1/h\ \frac{-{7h^2}/{25}}{{7|h|}/5}=\lim_{h\to 0}\ -{h}/{5|h|}$
e pertanto il limite destro e sinistro presentano segni diversi a causa del valore assoluto. Pertanto la derivata non esiste.
P.S: comunque i segni vengono al contrario.
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