Derivate direzionali (dubbio)
ho un dubbio sulle derivate direzionali....
di per se sono semplici: avendo il punto e il vettore, basta applicare la formuletta ed il gioco è fatto.
ma controllando qualche compito svolto del mio professore, noto che fattore \(\displaystyle f(x+tv_1,y+tv_2) \) viene diviso per (credo) il modulo del vettore stesso.
es: ${((x^3+2y^3)/(x^2+y^4), \vecx!=0),(0, \vecx=0):} $
calcolare la derivata direzionale in $(0,0)$ e nella direzione $(1,1)$
il prof imposta $lim_(t->0)(f(t/sqrt(2),t/sqrt(2))-f(0,0))/t=3/sqrt(2)$
invece di $lim_(t->0)(f(t,t)-f(0,0))/t=3$
perche?!
di per se sono semplici: avendo il punto e il vettore, basta applicare la formuletta ed il gioco è fatto.
ma controllando qualche compito svolto del mio professore, noto che fattore \(\displaystyle f(x+tv_1,y+tv_2) \) viene diviso per (credo) il modulo del vettore stesso.
es: ${((x^3+2y^3)/(x^2+y^4), \vecx!=0),(0, \vecx=0):} $
calcolare la derivata direzionale in $(0,0)$ e nella direzione $(1,1)$
il prof imposta $lim_(t->0)(f(t/sqrt(2),t/sqrt(2))-f(0,0))/t=3/sqrt(2)$
invece di $lim_(t->0)(f(t,t)-f(0,0))/t=3$
perche?!
Risposte
Ciao e benvenuto/a !
Non ho capito quale sia la funzione $f$ .
Non ho capito quale sia la funzione $f$ .
Il vettore $(1,1)$ non è un versore. Per ottenere il versore ovviamente divide per il modulo che è $sqrt 2$.
la f è dove ho scritto es:...
si anche io avevo pensato ad un versore, ma poi online ho trovato solo esercizi in cui questo ragionamento non lo fa :S
si anche io avevo pensato ad un versore, ma poi online ho trovato solo esercizi in cui questo ragionamento non lo fa :S
comunque penso che il risultato debba essere lo stesso anche con un vettore di modulo non unitario
si ma c'è la condizione x=0 che ho dato per scontato avendo messo l'altra diversa da 0.
.
ho scritto la funzione per intero... il denominatore è quello e basta.
E' questione di convenzioni: secondo alcuni una derivata direzionale vuole che la direzione sia un versore, secondo altri no. Conseguentemente, qualcuno normalizza la direzione dividendo per la sua lunghezza e qualcun altro no. La prima convenzione è più cinematica, la seconda più geometrica.
Comunque ti ricordo un risultato importante:
Supponiamo $f:A->RR$ di classe $C^1_RR$ con $A in RR^NN$ supponiamo $\vec x $ appartenente all'interno di $A$, $vec v in RR^n ^^||vec v||=1$, allora:
$D_(vec v)f(vec x)=df(vec x)(vec v) =$
Supponiamo $f:A->RR$ di classe $C^1_RR$ con $A in RR^NN$ supponiamo $\vec x $ appartenente all'interno di $A$, $vec v in RR^n ^^||vec v||=1$, allora:
$D_(vec v)f(vec x)=df(vec x)(vec v) =
non credo di aver capito dove vuoi arrivare...
Bhè così ti calcoli la derivata direzionale senza passare attraverso il limite ma calcolandoti il gradiente della funzione nel punto e poi facendo il prodotto scalare con il versore indicante la direzione.
"lordb":
Comunque ti ricordo un risultato importante:
Supponiamo $f:A->RR$ di classe $C^1_RR$ con $A in RR^NN$ supponiamo $\vec x $ appartenente all'interno di $A$, $vec v in RR^n ^^$\(\color{red}{\lVert \vec{v} \rVert=1}\), allora:
$D_(vec v)f(vec x)=df(vec x)(vec v) =$
Vale anche in generale, qualunque sia la lunghezza di \(v\).
Sisi lo so (me lo avevi già detto), ma nella definizione di derivata direzionale che conosco io $vec v$ è un versore, altrimenti si può sempre fare che,se $\vec w$ è un vettore:
$D_(vec w)f(vec x)=df(vec x)(vec w)=$$=*||vec w||=*||vec w||=||vec w||*D_(hat u_w)f(vec x)$
$D_(vec w)f(vec x)=df(vec x)(vec w)=
ah ok, grazie a tutti delle risposte.
quello che mi premeva sapere era appunto la storia del modulo del vettore
quello che mi premeva sapere era appunto la storia del modulo del vettore
"lordb":
Sisi lo so (me lo avevi già detto)
Effettivamente tendo a ripetermi!
@dissonance meglio così
@MaledettaAnalisiXD di niente
@MaledettaAnalisiXD di niente
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