Derivate direzionali di una funzione

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei dubbi su questo esercizio.

Sia data la funzione $ f: RR^2->RR $ definita da

$ f(x,y)={( 1 se |y|>x^2 vv y=0),( 0 diversamente ):} $

Si calcoli la derivata direzionale $ (partial f)/(partial v) (0,0) $ per ogni $ v=(v1,v2)inRR^2 $

Allora ho considerato il generico versore $ v=(v1,v2)inRR^2 $ e ho calcolato il limite

$ lim_(t -> 0) (f(O+tv)-f(O))/t = lim_(t->0) (f(tv1,tv2)-f(0,0))/t = lim_(t->0) (f(tv1,tv2)-1)/t $

Ora ho distinto vari casi

1) se $ v1=0 rArrv2!=0 $ per la condizione di versore . allora rientro nel caso 1 della funzione perchè sicuramente

$ |v2| > v1^2=0 $ quindi risulta

$ lim_(t->0)(1-1)/t=0 $

2) se $ v2=0 $ allora rientriamo nel caso 1 per la definizione di f quindi il limite diventa sempre

$ lim_(t->0)(1-1)/t=0 $

3) Nel caso in cui $ v1^^v2!=0 $ quanto fa quel limite? Quale valore di f devo prendere?

Grazie

[Frink1]

Non garantisco di essere nel giusto, ma io scriverei così:

- per $|v_2|>v_1^2$ o $v_2=0$ la funzione è costantemente $1$, quindi avrà derivata nulla su quella direzione.

- per $|v_2|<=v_1^2$ la funzione è costantemente $0$, quindi avrà derivata nulla su quella direzione.

Conclusione (forse errata): tutte le derivate direzionali sono nulle.

Ciao!