Derivate direzionali: condizione NON sufficiente...
Salve a tutti.
Propongo un altro problema a mio avviso delicato, sempre a tema derivate parziali & co...
Abbiamo una funzione \( f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) per la quale esistono tutte le derivate direzionali in ogni punto, \( {{\partial f} \over {\partial v}}(x +tv) \) per \( 0 \le t \le 1 \) .
Bisogna dimostrare che esiste \( 0 < \mu < 1 \) tale per cui: \( f(x+v)-f(x)= {{\partial f} \over {\partial v}}(x +\mu v)\)
Allora, il mio ragionamento (probabilmente sbagliato) è stato di definire: \( \phi(t)= f(x+tv) \) per i valori di t in ipotesi e applicare Lagrange: \( \phi(1)-\phi(0)= df(x+\mu v)\cdot v = <\nabla f(x+\mu v), v> \) e questo dovrebbe dimostrare la tesi...
Sì, vabbé, ma mi manca l'ipotesi di differenziabilità e so che l'esistenza delle derivate direzionali è condizione necessaria ma non sufficiente.
Quindi, la mia domanda è: si può giustificare il tutto usando in maniera alternativa l'ipotesi oppure bisogna cambiare strada? Avevo pensato anche al Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, ma non so come comportarmi con le derivate direzionali...
Punto come sempre in qualche pia anima che mi dia un brillante consiglio!
Propongo un altro problema a mio avviso delicato, sempre a tema derivate parziali & co...
Abbiamo una funzione \( f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) per la quale esistono tutte le derivate direzionali in ogni punto, \( {{\partial f} \over {\partial v}}(x +tv) \) per \( 0 \le t \le 1 \) .
Bisogna dimostrare che esiste \( 0 < \mu < 1 \) tale per cui: \( f(x+v)-f(x)= {{\partial f} \over {\partial v}}(x +\mu v)\)
Allora, il mio ragionamento (probabilmente sbagliato) è stato di definire: \( \phi(t)= f(x+tv) \) per i valori di t in ipotesi e applicare Lagrange: \( \phi(1)-\phi(0)= df(x+\mu v)\cdot v = <\nabla f(x+\mu v), v> \) e questo dovrebbe dimostrare la tesi...
Sì, vabbé, ma mi manca l'ipotesi di differenziabilità e so che l'esistenza delle derivate direzionali è condizione necessaria ma non sufficiente.
Quindi, la mia domanda è: si può giustificare il tutto usando in maniera alternativa l'ipotesi oppure bisogna cambiare strada? Avevo pensato anche al Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, ma non so come comportarmi con le derivate direzionali...
Punto come sempre in qualche pia anima che mi dia un brillante consiglio!
Risposte
Scusa, ma questo non è il Teorema di Lagrange per la funzione $phi(t) = f(x+tv)$ in $[0,1]$?
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