Derivate direzionali con parametro

[melli13]

Sia $f(x,y)={((x^5+cos(xy)-1)/(|x|^alpha+|y|^alpha), if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$ con $alpha in RR^+$

Ho visto che la funzione è continua nell'origine per $alpha<4$
Adesso devo studiarne la derivabilità nell'origine...ed è qui che mi sorge un dubbio!
Se mi calcolo le derivate parziali ottengo che:
$f_x(x,y)=lim_(t->0) t^4/|t|^alpha=0$ se $alpha<4$
$f_y(x,y)=lim_(t->0) 0=0$ $AA alpha$

Adesso invece mi metto nel caso più generale, cioè faccio la derivata direzionale su $v=(cos(theta),sen(theta)), theta in [0,2 pi)$

$lim_(t->0) (t^5cos^5(theta)+cos(t^2*cos(theta)sen(theta))-1)/(t*|t|^alpha(|cos(theta)|^alpha+|sen(theta)|^alpha)$

Divido il limite in due pezzi, dove il primo viene $0$ ed esiste per $alpha<4$ e il secondo pezzo, tramite limite notevole, mi viene che esiste ed è $0$ se $alpha<3$. Questo è il problema.
Ho sbagliato a fare questo limite nella derivata direzionale generale oppure devo fidarmi di questo risultato e lasciare perdere le derivate parziali perchè quelle sono solo un caso particolare?
La funzione è drivabile nell'origine per $alpha<3$ o $alpha<4$?
Grazie ancora ragazzi!!!

[melli13]

Ho risolto i miei dubbi. Innanzitutto, il testo mi chiede di dire per quali $alpha$ è derivabile, cioè quando esistono tutte le derivate parziali (no direzionali)! QUindi nel mio caso posso concludere che la funzione è derivabile per $alpha<4$. Il caso delle derivate direzionali è a parte..se non ho sbagliato quel limite ci sarà quelache vettore che non va bene per $alpha<4$, ma se prendo $alpha<3$ ho per tutti vettori la derivata direzionale. Ma per quanto riguarda l'esercizio, questo non ha importanza.