Derivate direzionali

[pagliagiorgia]

Ciao a tutti, dai miei appunti di analisi ho capito che la derivata direzionale di una funzione in un dato punto e dato un versore ( o un vettore ) è il prodotto scalare fra il gradiente ('g')e il versore ('v'). Ma il vettore deve essere unitario? In caso contrario devo dividere x la norma ciascuna delle sue componenti? oppure cosa posso fare?

[orazioster]

sì, unitario (per definizione, "versore").
Ma attenta! non è
quella la definizione di derivata direzionale.

Quello che hai scritto è SE la funzione è /differenziabile/ in un punto.

[pagliagiorgia]

e come controllo se è differenziabile?

[orazioster]

è differenziabile SE le derivate direzionali possono
essere espresse in quel modo .

Non è un gioco di parole, la formula
completa è che $f$ è differenziabile se e solo se una
derivata direzionale può essere espressa come dicevi.

"differenziabile" è
che ammetta, in un punto, -"iperpiano" tangente, (il
piano ordinario per funzione di due variabili).
- in effetti, il piano (iperpiano) tangente
è definito proprio nella definizione
di differenziabilità
-
se hai fissato un verso, la tua funzione
ti diventa funzione di una sola variabile: puoi
così considerare la derivata rispetto quella sola variabile. Questa
è la derivata direzionale.

Condizione SUFFICIENTE che $f$ sia
differenziabile in un punto è
che esistano e siano continue le sue derivate parziali in quel punto.

[pagliagiorgia]

non ho capito... devo prima fare il limite $ lim_(t -> 0) ((f(x0,y0)+tv)-f(x0,y0))/t $ con $v=(cos(alpha), sen(alpha)$) ?