Derivate direzionali

[Fedetro1]

Salve a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento riguardo alle derivate direzionali.
Sul mio libro ho trovato un teorema che dice che esse sono la combinazione lineare delle componenti del gradiente dove i coefficienti a e b sono quelli del vettore direzione da me scelto. Non riesco proprio a visualizzare questa situazione a livello spaziale. sapendo che il gradiente è un vettore tangente alla superficie in che modo la derivata derivata direzionale esce dal piano tangente alla superficie (se cio effettivamente accade)?

[Luca9712]

Il tuo problema è il legame derivata direzionale e del gradiente di una funzione. Il legame tra derivata direzionale e derivata parziale?

[Fedetro1]

Si esattamente

[Luca9712]

Le derivate parziali sono particolari derivate direzionali, lungo le direzioni date da $(1,0)$, rispetto ad $x$, e $(0,1)$ rispetto ad $y$.

Derivata direzionale

Siano

1)$f:\Omega\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R},\quad \Omega \mbox{ aperto}$, una funzione.

2)$(x_0, y_0)\in\Omega$

3) $mathbf{v}=(v_1, v_2)\mbox{ con }||\mathbf{v}||=1$ un versore di $\mathbb{R}^2$

Definiamo derivata direzionale di $f$ nel punto $(x_0, y_0)$

$\frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial\mathbf{v}}= \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+tv_1, y_0+ tv_2)+f(x_0,y_0)}{t}$

Il limite deve esistere ed essere finito.

Nel caso in cui la funzione $f$ ammette derivate parziali prime, cioè esiste il gradiente della funzione nel punto $(x_0, y_0)$

Si ha che:

$\frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial\mathbf{v}}= \nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{v}$

(questa è l'espressione matematica che lega il gradiente con le derivate direzionali)

Implicazioni geometriche.

Consideriamo la norma di:

$\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{v}=||\nabla f(x_0, y_0)|| ||\mathbf{v}||\cdot\cos(\alpha)$

dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra i due vettori.

Ora $||\mathbf{v}||=1$ (per ipotesi $\mathbf{v}$ è un versore, quindi di norma unitaria) conseguentemente:

$\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{v}=||\nabla f(x_0, y_0)|| ||\mathbf{v}||\cdot\cos(\alpha)$

si scrive come:

$\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{v}=||\nabla f(x_0, y_0)||\cos(\alpha)$

Tale espressione è massima quando $\cos(\alpha)=1$ da cui segue:

$\alpha=0$ cioè i vettori $\mathbf{v}$ e $\nabla f(x_0,y_0)$ sono paralleli, inoltre si evince che il gradiente ci dà la direzione di massima crescita.

[gugo82]

"Fedetro":sapendo che il gradiente è un vettore tangente alla superficie in che modo la derivata derivata direzionale esce dal piano tangente alla superficie (se cio effettivamente accade)?

Occhio... Il vettore gradiente non è un vettore tangente alla superficie.

Chiamiamo \(f(x,y)\) una funzione "sufficientemente liscia" definita in un aperto, \(S\) la sua superficie-grafico di \(f\), i.e. la superficie di equazione cartesiana \(z=f(x,y)\), \(P=(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) un punto su \(S\) e \(T_P(S)\) il piano (affine) tangente \(S\) in \(P\).
La giacitura del piano tangente \(T_P(s)\) è un piano vettoriale di \(\mathbb{R}^3\), dunque i suoi elementi sono vettori di \(\mathbb{R}^3\) e perciò hanno tre componenti. Il vettore gradiente \(\nabla f(x_0,y_0)\), invece, ha solo due componenti (i.e., le due derivate parziali calcolate nel punto \((x_0,y_0)\)), dunque esso non può essere un vettore tangente ad \(S\) in \(P\), in quanto per un evidente "mismatch" dimensionale non può appartenere alla giacitura di \(T_P(S)\).

Tuttavia, la situazione si può recuperare come segue.
Nella giacitura di \(T_P(S)\), che è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^3\), è possibile fissare qualche base; dato che la giacitura di \(T_P(S)\) è bidimensionale, ognuna di tali basi è costituita da due vettori indipendenti.
Per comodità di calcolo, di solito si sceglie per la giacitura di \(T_P(S)\) la base ordinata costituita dai vettori:
\[
\mathbf{e}^1:=(1,0,f_x(x_0,y_0)) \quad \text{e} \quad \mathbf{e}^2:=(0,1,f_y(x_0,y_0))
\]
i quali sono sempre e comunque linearmente indipendenti (basta controllare le prime due coordinate): chiamiamo, per capirci, base canonica di \(T_P(S)\) questa base.

Il generico vettore \(\mathbf{v}\) che appartiene alla giacitura del piano \(T_P(S)\) si scrive come combinazione lineare di \(\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^1\), i.e. si ha:
\[
\mathbf{v} = v_1\mathbf{e}^1+v_2\mathbf{e}^2 = (v_1,v_2,f_x(x_0,y_0)v_1+f_y(x_0,y_0)v_2)\; ,
\]
ed il vettore \(v=(v_1,v_2)\) è il vettore delle coordinate di \(\mathbf{v}\) rispetto alla base canonica di \(T_P(S)\); quindi il generico vettore \(\mathbf{v}\) tangente ad \(S\) in \(P\) si scrive:
\[
\mathbf{v} = (v, \langle \nabla f(x_0,y_0),v\rangle )
\]
(in cui \(\langle \cdot, \cdot\rangle\) è il prodotto scalare di \(\mathbb{R}^2\)). Introducendo per comodità notazionale il simbolo:
\[
\frac{\partial f}{\partial v} (x_0,y_0) = \langle \nabla f(x_0,y_0),v\rangle\; ,
\]
(detto derivata direzionale di \(f\) in \((x_0,y_0)\) lungo la direzione \(v\)), la precedente si riscrive:
\[
\mathbf{v} = \left( v, \frac{\partial f}{\partial v} (x_0,y_0) \right)\; .
\]
Quindi la derivata direzionale \(\frac{\partial f}{\partial v} (x_0,y_0)\) di una funzione di \(2\) variabili altro non è che la terza componente nella base canonica di \(\mathbb{R}^3\) del vettore tangente ad \(S\) in \(P\) avente per coordinate nella base canonica di \(T_P(S)\) il vettore direzionale \(v\) scelto per calcolare la derivata.