Derivate di $x^3e^(x^4)$ nel punto x=0
ciao a tutti! non riesco a capire il procedimento e un po' il senso di questo esercizio..
dunque ho questa funzione $x^3e^(x^4)$ e devo calcolare tutte le derivate nel punto x=0
per il calcolo delle derivate non ci sono problemi ma mi chiedevo se devo risolverle nel modo standard o con la definizione di derivata..cmq mi ritrovo con queste:
$f'(x)=e^(x^4)x^2(3+4x^4)$ quindi $f'(0)=0$
$f''(x)=2e^(x^4)x(8x^8+18x^4+3)$ qindi $f''(0)=0$
$f'''(x)=2e^(x^4)(32x^12+144x^8+102x^4+3)$ quindi $f'''(0)=6$
$ f^(IV)(x)=8e^(x^4)x^3(32x^12+240x^8+390x^4+105) $ quindi $f^(IV)(0)=0$
e a questo punto fino dove devo procedere?
grazie a chiunque riesca a schiarirmi le idee!
dunque ho questa funzione $x^3e^(x^4)$ e devo calcolare tutte le derivate nel punto x=0
per il calcolo delle derivate non ci sono problemi ma mi chiedevo se devo risolverle nel modo standard o con la definizione di derivata..cmq mi ritrovo con queste:
$f'(x)=e^(x^4)x^2(3+4x^4)$ quindi $f'(0)=0$
$f''(x)=2e^(x^4)x(8x^8+18x^4+3)$ qindi $f''(0)=0$
$f'''(x)=2e^(x^4)(32x^12+144x^8+102x^4+3)$ quindi $f'''(0)=6$
$ f^(IV)(x)=8e^(x^4)x^3(32x^12+240x^8+390x^4+105) $ quindi $f^(IV)(0)=0$
e a questo punto fino dove devo procedere?
grazie a chiunque riesca a schiarirmi le idee!
Risposte
Hai provato ad usare la formula di MacLaurin per l'esponenziale? 
aah..non ci avevo neanche pensato :-\
dunque per mclaurin ho
$x^3e^(x^4) ~ x^3+x^7+x^11/2+x^15/6+o(x^19) $
e quindi praticamente l'esercizio finisce qua?
dunque per mclaurin ho
$x^3e^(x^4) ~ x^3+x^7+x^11/2+x^15/6+o(x^19) $
e quindi praticamente l'esercizio finisce qua?
Basta tenere presente come sono definiti i coefficienti nello sviluppo di Taylor, no?
Ragionaci un po': cosa leggi davanti alle potenze...
Ragionaci un po': cosa leggi davanti alle potenze...
mi sa che non capisco..i coefficienti sono tutti positivi e minori o uguali a uno..
Ciao claudette.
Pensa allo sviluppo dell'esponenziale nello zero come serie di McLaurin.
$e^x = \sum_(n=0)^\infty \frac{x^n}{n!}$
Poiché l'esponente è $x^4$ abbiamo
$e^(x^4)=\sum_(n=0)^\infty \frac{x^(4n)}{n!}$
ricordiamoci che c'è quell'$x^3$ davanti a rompere le scatole. Il tutto è
$e^(x^4) x^3 = \sum_(n=0)^\infty \frac{x^(4n+3)}{n!}$
Il trucco, se così si può dire, è quello di scrivere in forma "semplice" la derivata di quella roba là: non ho detto molto di più di quello che hai detto tu, diciamo che l'ho formalizzato meglio.
Tieni conto che se $k>h$, la derivata $k-$esima di $x^k$ è nulla: nei monomi, se l'ordine di derivazione è maggiore del grado, restano dei bei zeri e sono questi che ti danno una bella mano in questo esercizio oltre al fatto che ogni volta che derivi un monomio, questo "scende" di un grado.
Quello che ci interessa e che influisce nella derivata calcolata in zero, è solo quella derivata che possiede almeno un termine non dipendente da $x$ (dato che tutti gli altri si annullano essendo $x=0$ il punto in cui calcoli)...
Ho detto troppo?
...
Ti ho messo la pulce nell'orecchio - come ho detto non ho detto chissà cosa rispetto a quanto detto da te e gugo - vedi se ti accendo la lampadina.
Ok. Volevo farti andare più avanti... minimo minimo ti ho confuso ancora di più (spero di no, ovvio!).
Pensa allo sviluppo dell'esponenziale nello zero come serie di McLaurin.
$e^x = \sum_(n=0)^\infty \frac{x^n}{n!}$
Poiché l'esponente è $x^4$ abbiamo
$e^(x^4)=\sum_(n=0)^\infty \frac{x^(4n)}{n!}$
ricordiamoci che c'è quell'$x^3$ davanti a rompere le scatole. Il tutto è
$e^(x^4) x^3 = \sum_(n=0)^\infty \frac{x^(4n+3)}{n!}$
Il trucco, se così si può dire, è quello di scrivere in forma "semplice" la derivata di quella roba là: non ho detto molto di più di quello che hai detto tu, diciamo che l'ho formalizzato meglio.
Tieni conto che se $k>h$, la derivata $k-$esima di $x^k$ è nulla: nei monomi, se l'ordine di derivazione è maggiore del grado, restano dei bei zeri e sono questi che ti danno una bella mano in questo esercizio oltre al fatto che ogni volta che derivi un monomio, questo "scende" di un grado.
Quello che ci interessa e che influisce nella derivata calcolata in zero, è solo quella derivata che possiede almeno un termine non dipendente da $x$ (dato che tutti gli altri si annullano essendo $x=0$ il punto in cui calcoli)...
Ho detto troppo?
...
Ti ho messo la pulce nell'orecchio - come ho detto non ho detto chissà cosa rispetto a quanto detto da te e gugo - vedi se ti accendo la lampadina.
Ok. Volevo farti andare più avanti... minimo minimo ti ho confuso ancora di più (spero di no, ovvio!).
si non ho ben chiare le idee 
la formalizzazione della serie è ok e fin lì ci sono arrivata poi mi dici che se l'ordine di derivazione è maggiore del grado del monomio rimangono degli zeri e già qua comincio ad avere dei problemi..infine mi dici che devo prendere il termine non dipendente da x ma a me sembra che tutti dipendano da x visto la presenza di x^3...
ci penserò su magari mi viene un'illuminazione
la formalizzazione della serie è ok e fin lì ci sono arrivata
poi mi dici che se l'ordine di derivazione è maggiore del grado del monomio rimangono degli zeri e già qua comincio ad avere dei problemi..infine mi dici che devo prendere il termine non dipendente da x ma a me sembra che tutti dipendano da x visto la presenza di x^3...ci penserò su magari mi viene un'illuminazione
"claudette":
infine mi dici che devo prendere il termine non dipendente da x ma a me sembra che tutti dipendano da x visto la presenza di x^3...
Infatti, mi sa che ho fatto confusione... mi spiace.
Guarda, ribalto la situazione.
Considera un monomio qualsiasi, tipo $4x^3$ tanto per mettere in chiaro cosa intendo.
- Se derivo rispetto a $x$, ottengo $12x^2$
- Se derivo ancora, riottengo $24x$
- Alla terza derivata successiva, ho $24$
- In seguito tutte le altre sono nulle.
Quello che intendevo io, è proprio il fatto che in un monomio di grado $n$, la derivata $n-esima$ non dipende da $x$.
Dunque se calcolo la derivata $n$-esima di un certo sgorbio - questa parola rende l'idea
- composto da monomi di gradi diversi in $x=0$, resta solo "quello specifico termine" che non dipende da $x$ (se c'è). Tutti gli altri sono nulli in quanto o dipendenti da $x$ oppure nulli in generale perché derivate di termini che hanno grado minore a $n$.Uhm... stavolta credo di aver chiarito un pochino meglio (almeno spero!)
si grazie sei stato molto gentile a chiarirmi è che purtroppo non ho una mente molto matematica e mi perdo spesso nei ragionamenti 
è che purtroppo non ho una mente molto matematica e mi perdo spesso nei ragionamenti
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