Derivate di funzioni inverse e inverse di derivate...?
Buongiorno,
rieccomi con un altro dubbio di analisi matematica.
Sono alle prese con la risoluzione di un esercizio di funzioni inverse e derivate.
Ad esempio, prendiamo la funzione $ f(x) = x^7 +x $
devo trovare la derivata di $ f^-1(x) $ in $ 0 $ e $ 2 $.
Procedo facendo la derivata $ f^{\prime}(x) = 7x^6 +1 $
Dopodichè applico la formula (è giusta?): $ [f^-1(y)]^{\prime} = 1/(g^{\prime}(x)) = 1 / (7x^6 +1) $ e fin qui nessun problema.
Ed ora come faccio a proseguire? Cioè come faccio a trovarmila derivata dell'inversa nei punti 0 e 2 ?
rieccomi con un altro dubbio di analisi matematica.
Sono alle prese con la risoluzione di un esercizio di funzioni inverse e derivate.
Ad esempio, prendiamo la funzione $ f(x) = x^7 +x $
devo trovare la derivata di $ f^-1(x) $ in $ 0 $ e $ 2 $.
Procedo facendo la derivata $ f^{\prime}(x) = 7x^6 +1 $
Dopodichè applico la formula (è giusta?): $ [f^-1(y)]^{\prime} = 1/(g^{\prime}(x)) = 1 / (7x^6 +1) $ e fin qui nessun problema.
Ed ora come faccio a proseguire? Cioè come faccio a trovarmila derivata dell'inversa nei punti 0 e 2 ?
Risposte
Hai fatto due cose non sbagliate ma "inutili": la prima è l'introduzione del simbolo $g$, che in questo caso è $f$ [infatti lo usi come inversa di $f^{-1}$] e poi hai espresso tutta una funzione quando ti servono due punti.
La soluzione è molto più semplice di come sembra: dalla formula che hai usato, $D[f^{-1}(y)]=\frac{1}{f'(x)}$ associa ad ogni punto $y$ la derivata che la funzione inversa assume in quel punto.
L'ultimo passaggio ce l'hai proprio davanti agli occhi. Capito cosa devi fare?
La soluzione è molto più semplice di come sembra: dalla formula che hai usato, $D[f^{-1}(y)]=\frac{1}{f'(x)}$ associa ad ogni punto $y$ la derivata che la funzione inversa assume in quel punto.
L'ultimo passaggio ce l'hai proprio davanti agli occhi. Capito cosa devi fare?
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