Derivate di funzioni inverse

[frenky46]

Salve ragazzi non riesco proprio a capire come dimostrare i seguenti esercizi, qualcuno puo darmi un aiutino?

Utilizzando la regola di derivazione delle funzioni inverse mostrare che :

$(arctanx)'=1/(1+x^2)$

$(arccosx)'=-1/(sqrt(1-x^2))$

Grazie

[Seneca1]

"frenky46":Salve ragazzi non riesco proprio a capire come dimostrare i seguenti esercizi, qualcuno puo darmi un aiutino?

Utilizzando la regola di derivazione delle funzioni inverse mostrare che :

$(arctanx)'=1/(1+x^2)$

$(arccosx)'=-1/(sqrt(1-x^2))$

Grazie

$y = arctan(x)$

$x = tan(y)$

La derivata può essere espressa come un rapporto di differenziali:

$(dy)/(dx) = 1/((dx)/(dy))$

Dove $(dx)/(dy)$ è la derivata di $x$ rispetto alla variabile $y$. Quindi:

$(arctanx)' = 1/(1 + tg^2(y))$

Sostituendo $x = ...$ :

$(arctanx)' = 1/(1 + x^2)$


L'altro riesci a farlo solo, ora che ti ho mostrato come si procede?

[frenky46]

si ok con l'esercizio che mi hai mostrato tu mi trovo e ho capito come lo hai risolto, ma con il secondo ho ancora qualche problema, ti posto quello che ho fatto :

$y=arccos(x)$

$x=cos(y)$

$dy/dx=1/(dx/dy)$ ma svolgendolo come il precedente ottengo $1/(-sen(y))$

[Seneca1]

"frenky46":si ok con l'esercizio che mi hai mostrato tu mi trovo e ho capito come lo hai risolto, ma con il secondo ho ancora qualche problema, ti posto quello che ho fatto :

$y=arccos(x)$

$x=cos(y)$

$dy/dx=1/(dx/dy)$ ma svolgendolo come il precedente ottengo $1/(-sen(y))$

E' giusto. Ora devi esprimere $1/(-sen(y))$ come funzione di $x$... Quindi, sostituendo $y$, hai:

$dy/dx=- 1/(sin(arccos(x)))$

E ora devi adoperare qualche formula trigonometrica...

Ad esempio $sin(z) = +- sqrt( 1 - cos(z))$ (attenzione al segno... considera che c'è in ballo una funzione inversa)