Derivate di funzioni di due variabili
Ciao a tutti, mi sento di scusarmi per il disturbo perché sono sicura che salterà fuori che non avevo capito qualcosa di cretino, sarà la fretta ma sto collezionando dubbi sull'argomento.
1) Metodo di calcolo derivata parziale
Il mio professore specificava, con un po' di vago terrorismo psicologico, che non è sempre possibile sfruttare il metodo formale (= regole di derivazione e solo dopo valutazione nel punto) in questi casi si usa la definizione...quali casi? E se non ho una funzione da derivare nel punto ma nel dominio come mi comporto?
Purtroppo internet non mi è stato d'aiuto, a parte un "si usa la definizione per funzioni definite a tratti e altre funzioni particolari" o una cosa del genere, nessuno sembra aver attenzionato la cosa e mi sfugge la logica di fondo
Esempio:
$f(x,y)=xy^(1/3) \text{ nel punto } (0,0)$
Calcolando le funzioni derivate il problema si presenta nella df/dy che non è definita per y=0
2) Per quanto riguarda l'hessiana (questa è meno contorta!)
$H(x,y)=((f_(text{xx}) text{ } f_(xy)),(f_(yx) text{ } f_(yy)))$
Giusto? Il dubbio è: come scrivo la derivata rispetto ad y della precedente derivata rispetto ad x, fxy? In questo caso l'hessiana è quindi corretta? Nel caso della scrittura df^2/dxdy, analogo ordine di scrittura delle variabili giusto?
3) Se non è davvero troppo e fuori tema, posso chiedervi come vi muovereste per provare la differenziabilità di
$f(x,y)=\{((xy^3)/(x^2+y^2) \text{ per } (x,y)!=(0,0)),(0 \text{ per } (x,y)=(0,0)):}$
Col professore abbiamo:
* accertato la continuità in (0,0)
* calcolato le prime derivate parziali in (0,0) con la definizione
* provato la differenziabilità con la definizione (e qui sembra dare per scontato $\nabla f * (h,k)$ anche se non avendo provato la differenziabilità non dovrei ancora sapere che quel vettore è effettivamente il gradiente!)
* calcolato formalmente la funzione df/dx con $(x,y)!=(0,0)$ (Perché mi interessa solo questo caso?) e verificato che tendesse a 0 suppongo per la continuità (provando lo stesso per df/dy però non ottengo lim=0)
Non capisco perché fa queste cose...mi basterebbero delle linee guida, una sorta di specchietto su cui ragionare da sola se non proprio una spiegazione passo passo (a parole, i calcoli che non capisco li ho già e non stressiamo nessuno col TeX)
Spero davvero possiate darmi una mano a riordinare il caos che ho in testa, mi salvereste la vita dato che tendo a bloccarmi quando non capisco un argomento. Scusate per il papiro e grazie infinitamente in anticipo!
1) Metodo di calcolo derivata parziale
Il mio professore specificava, con un po' di vago terrorismo psicologico, che non è sempre possibile sfruttare il metodo formale (= regole di derivazione e solo dopo valutazione nel punto) in questi casi si usa la definizione...quali casi? E se non ho una funzione da derivare nel punto ma nel dominio come mi comporto?
Purtroppo internet non mi è stato d'aiuto, a parte un "si usa la definizione per funzioni definite a tratti e altre funzioni particolari" o una cosa del genere, nessuno sembra aver attenzionato la cosa e mi sfugge la logica di fondo
Esempio:
$f(x,y)=xy^(1/3) \text{ nel punto } (0,0)$
Calcolando le funzioni derivate il problema si presenta nella df/dy che non è definita per y=0
2) Per quanto riguarda l'hessiana (questa è meno contorta!)
$H(x,y)=((f_(text{xx}) text{ } f_(xy)),(f_(yx) text{ } f_(yy)))$
Giusto? Il dubbio è: come scrivo la derivata rispetto ad y della precedente derivata rispetto ad x, fxy? In questo caso l'hessiana è quindi corretta? Nel caso della scrittura df^2/dxdy, analogo ordine di scrittura delle variabili giusto?
3) Se non è davvero troppo e fuori tema, posso chiedervi come vi muovereste per provare la differenziabilità di
$f(x,y)=\{((xy^3)/(x^2+y^2) \text{ per } (x,y)!=(0,0)),(0 \text{ per } (x,y)=(0,0)):}$
Col professore abbiamo:
* accertato la continuità in (0,0)
* calcolato le prime derivate parziali in (0,0) con la definizione
* provato la differenziabilità con la definizione (e qui sembra dare per scontato $\nabla f * (h,k)$ anche se non avendo provato la differenziabilità non dovrei ancora sapere che quel vettore è effettivamente il gradiente!)
* calcolato formalmente la funzione df/dx con $(x,y)!=(0,0)$ (Perché mi interessa solo questo caso?) e verificato che tendesse a 0 suppongo per la continuità (provando lo stesso per df/dy però non ottengo lim=0)
Non capisco perché fa queste cose...mi basterebbero delle linee guida, una sorta di specchietto su cui ragionare da sola se non proprio una spiegazione passo passo (a parole, i calcoli che non capisco li ho già e non stressiamo nessuno col TeX)
Spero davvero possiate darmi una mano a riordinare il caos che ho in testa, mi salvereste la vita dato che tendo a bloccarmi quando non capisco un argomento. Scusate per il papiro e grazie infinitamente in anticipo!
Risposte
Allora in GENERALE, le derivate di funzioni in più variabili
ti faccio già un rapido esempio, sia $ f:RR^2\to RR $ , $ f(x,y)=x^2+y $
Calcoliamo la sua derivata parziale in $x$ e in $y$
$ \partial_x f(x,y)=2x $ quando derivi in $x$ l'altra variabile, devi usarla come una costante!
in questo caso per derivare in $x$ ho fatto finta che la funzione era questa $ f(x)=x^2+a $
ora deriva da sola $ \partial_x (x^2+a)=2x $
stesso discorso equivale con la derivata parziale in $y$
e la derivata in y è $ \partial_y f(x,y)=1 $
PER CALCOLARE la derivata parziale in un punto, eseguento la definizione
basta che usi la definizione
una funzione f sia derivabile nel punto $ A=(x_0,y_0) $ occorre e basta che esistano finiti i due limiti che definiscono le derivate parziali in quel punto, ossia
$ \partial_x f= \lim_(x\to x_0) (f(x,y_0)-f(x_0,y_0))/(x-x_0) $
$ \partial_y f= \lim_(y\to y_0) (f(x_0,y)-f(x_0,y_0))/(y-y_0) $
la matrice hessiana, la usi, quando hai le derivate seconde, per esempio la matrice hessiana di una funzione f nel punto A è
$ H(x_0,y_0)=( ( f_(x x)(x_0,y_0) , f_(x y)(x_0,y_0) ),( f_(y x)(x_0,y_0) , f_(y y)(x_0,y_0) ) ) $
PER ESEMPIO, prendi la funzione
$ f(x,y)=8x^2+y^2-y^3-x^4 $ e calcola la matrice hessiana nel punto $P=(0,0)$
si ha $ H(0,0)=( ( 16 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $
(lascio a te la verifica)
ti faccio già un rapido esempio, sia $ f:RR^2\to RR $ , $ f(x,y)=x^2+y $
Calcoliamo la sua derivata parziale in $x$ e in $y$
$ \partial_x f(x,y)=2x $ quando derivi in $x$ l'altra variabile, devi usarla come una costante!
in questo caso per derivare in $x$ ho fatto finta che la funzione era questa $ f(x)=x^2+a $
ora deriva da sola $ \partial_x (x^2+a)=2x $
stesso discorso equivale con la derivata parziale in $y$
e la derivata in y è $ \partial_y f(x,y)=1 $
PER CALCOLARE la derivata parziale in un punto, eseguento la definizione
basta che usi la definizione
una funzione f sia derivabile nel punto $ A=(x_0,y_0) $ occorre e basta che esistano finiti i due limiti che definiscono le derivate parziali in quel punto, ossia
$ \partial_x f= \lim_(x\to x_0) (f(x,y_0)-f(x_0,y_0))/(x-x_0) $
$ \partial_y f= \lim_(y\to y_0) (f(x_0,y)-f(x_0,y_0))/(y-y_0) $
la matrice hessiana, la usi, quando hai le derivate seconde, per esempio la matrice hessiana di una funzione f nel punto A è
$ H(x_0,y_0)=( ( f_(x x)(x_0,y_0) , f_(x y)(x_0,y_0) ),( f_(y x)(x_0,y_0) , f_(y y)(x_0,y_0) ) ) $
PER ESEMPIO, prendi la funzione
$ f(x,y)=8x^2+y^2-y^3-x^4 $ e calcola la matrice hessiana nel punto $P=(0,0)$
si ha $ H(0,0)=( ( 16 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $
(lascio a te la verifica)
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