Derivate di distribuzioni
Il mio libro definisce le derivate di distribuzioni, e fin li tutto bene, molto bello
Sia $\Omega\sub RR^n$. Sia $\phi\inD(\Omega)$ dove $D(\Omega)$ è lo spazio delle funzioni test, ovvero la coppia $(C_c^\infty(\Omega), ||.||_{D(\Omega)})$
dove $||f||_{D(\Omega)}=\sum_\alpha Sup_{x\in\Omega} {|D^\alpha f(x)|}$
Sia $D(\Omega)^"*"$ lo spazio delle distribuzioni. Cioè $T\inD(\Omega)^"*"$ è un funzionale lineare continuo.
ad un certo punto vuole legare distribuzioni e convoluzioni, ma prima di farlo fa una premessa:
Sia $\phi\in D(\Omega)$ e $y\in RR^n$, definiamo $\phi_y(x):=\phi(x-y)$
Poi prende $O_\phi={y\inRR^n\ |\ "supp"(\phi_y)\sub\Omega}$
e dice giustamente quindi che $T(\phi_y)$ è definito $\forally\inO_\phi$
Adesso si può vedere l'applicazione $y->T(\phi_y)$ come una funzione e derivarla rispetto a y
Qui fa un passaggio che non giustifica e che io non capisco proprio.
Chiamando $D_y^\alpha$ la derivata rispetto a y
dice $D_y^alphaT(\phi_y)=(-1)^|\alpha| T((D^alpha\phi)_y)=D^alphaT(\phi_y)$
Dove nel membro centrale credo ci sia un errore di stampa e che volesse scrivere $(-1)^|\alpha| T(D^alpha\phi_y)$
Per piacere mi aiutate a capire questi passaggi? Come fa a portare la derivata dentro una distribuzione, che in questo contesto è astratta, ovvero non associata per forza ad una funzione.
Mi spiego: se potessi sempre scrivere $T(\phi)=\int_\Omega f*\phi\ d\mu$ per una qualche $f\in L_{loc}^1(\Omega)$, potrei fare il passaggio agilmente, ma non sempre posso farlo, ad esempio vedi caso della delta di dirac. Giusto?
O no?
Sia $\Omega\sub RR^n$. Sia $\phi\inD(\Omega)$ dove $D(\Omega)$ è lo spazio delle funzioni test, ovvero la coppia $(C_c^\infty(\Omega), ||.||_{D(\Omega)})$
dove $||f||_{D(\Omega)}=\sum_\alpha Sup_{x\in\Omega} {|D^\alpha f(x)|}$
Sia $D(\Omega)^"*"$ lo spazio delle distribuzioni. Cioè $T\inD(\Omega)^"*"$ è un funzionale lineare continuo.
ad un certo punto vuole legare distribuzioni e convoluzioni, ma prima di farlo fa una premessa:
Sia $\phi\in D(\Omega)$ e $y\in RR^n$, definiamo $\phi_y(x):=\phi(x-y)$
Poi prende $O_\phi={y\inRR^n\ |\ "supp"(\phi_y)\sub\Omega}$
e dice giustamente quindi che $T(\phi_y)$ è definito $\forally\inO_\phi$
Adesso si può vedere l'applicazione $y->T(\phi_y)$ come una funzione e derivarla rispetto a y
Qui fa un passaggio che non giustifica e che io non capisco proprio.
Chiamando $D_y^\alpha$ la derivata rispetto a y
dice $D_y^alphaT(\phi_y)=(-1)^|\alpha| T((D^alpha\phi)_y)=D^alphaT(\phi_y)$
Dove nel membro centrale credo ci sia un errore di stampa e che volesse scrivere $(-1)^|\alpha| T(D^alpha\phi_y)$
Per piacere mi aiutate a capire questi passaggi? Come fa a portare la derivata dentro una distribuzione, che in questo contesto è astratta, ovvero non associata per forza ad una funzione.
Mi spiego: se potessi sempre scrivere $T(\phi)=\int_\Omega f*\phi\ d\mu$ per una qualche $f\in L_{loc}^1(\Omega)$, potrei fare il passaggio agilmente, ma non sempre posso farlo, ad esempio vedi caso della delta di dirac. Giusto?
O no?
Risposte
"Fox":
Come fa a portare la derivata dentro una distribuzione, che in questo contesto è astratta, ovvero non associata per forza ad una funzione.
Data una distribuzione $T$, si definisce derivata di $T$ la distribuzione $T'$ che agisce sulle funzioni test come:
$
grazie della risposta, però non era quello che ho chiesto!!! 
Quella lì è una derivata rispetto a y, come si fa formalmente il passaggio?
Cioè mi spiego meglio svolgendo qualche conto:
$D_y^\alpha T(\phi_y)=$ [per definizione] $=(-1)^|\alpha| \ T(D_y^\alpha \phi_y)=$ [a questo punto ricordandosi la definizione di $\phi_y$] $=(-1)^|\alpha| \ T((-1)^|\alpha| \ D^\alpha \phi_y)$
che è diverso da quello che dice lui, o no?
Quella lì è una derivata rispetto a y, come si fa formalmente il passaggio?
Cioè mi spiego meglio svolgendo qualche conto:
$D_y^\alpha T(\phi_y)=$ [per definizione] $=(-1)^|\alpha| \ T(D_y^\alpha \phi_y)=$ [a questo punto ricordandosi la definizione di $\phi_y$] $=(-1)^|\alpha| \ T((-1)^|\alpha| \ D^\alpha \phi_y)$
che è diverso da quello che dice lui, o no?
Mi pare tra l'altro che questo tipo di ragionamento sia concettualmente errato
scrivendo $D^\alpha T(\phi)$ si intende la derivata della distribuzione
che è definita come $(-1)^|\alpha| T(D^\alpha \phi)$ e il fatto che si passa dentro il simbolo uguale (intendo il $D^\alpha$) è solo un fatto di notazioni, ma certamente non è la stessa operazione, basti pensare che il primo $D^alpha$ prende elementi in $D(\Omega)^"*"$ e il secondo prende elementi in $D(\Omega)$
con questo in testa si vede bene che è sbagliato trattare $D_y^\alphaT(\phi_y)$ come ho fatto nel post precedente, cioè portandolo dentro come se fosse la derivata distribuzionale, NON lo è.
E' una derivata rispetto a y della FUNZIONE $y->T(\phi_y)$
Aiuto
scrivendo $D^\alpha T(\phi)$ si intende la derivata della distribuzione
che è definita come $(-1)^|\alpha| T(D^\alpha \phi)$ e il fatto che si passa dentro il simbolo uguale (intendo il $D^\alpha$) è solo un fatto di notazioni, ma certamente non è la stessa operazione, basti pensare che il primo $D^alpha$ prende elementi in $D(\Omega)^"*"$ e il secondo prende elementi in $D(\Omega)$
con questo in testa si vede bene che è sbagliato trattare $D_y^\alphaT(\phi_y)$ come ho fatto nel post precedente, cioè portandolo dentro come se fosse la derivata distribuzionale, NON lo è.
E' una derivata rispetto a y della FUNZIONE $y->T(\phi_y)$
Aiuto
"Fox":
Qui fa un passaggio che non giustifica e che io non capisco proprio.
Chiamando $D_y^\alpha$ la derivata rispetto a y
dice $D_y^alphaT(\phi_y)=(-1)^|\alpha| T((D^alpha\phi)_y)=D^alphaT(\phi_y)$
Dove nel membro centrale credo ci sia un errore di stampa e che volesse scrivere $(-1)^|\alpha| T(D^alpha\phi_y)$
Credo anch'io che ci sia quell'errore di stampa e io penso che si possa arrivare a questa catena di uguaglianze in questo modo.
Considero per comodità la derivata prima e sempre per comodità mi metto in $RR$.
Poi lascio a te generalizzare al caso di $RR^n$ e al caso di una derivata di qualsiasi ordine (ma di fatto non cambia nulla).
Prova a vedere se questo ragionamento ti soddisfa.
Devo fare $D_y^alphaT(\phi_y)$
che quindi con le "comodità" che ho preso diventa:
$(del)/(dely)T(\phi_y)=\lim_{h \to 0}(T(\phi_(y+h))-T(\phi_y))/h$
Ma $T$ è lineare e continuo e quindi:
$(del)/(dely)T(\phi_y)=\lim_{h \to 0}(T(\phi_(y+h))-T(\phi_y))/h=T(\lim_{h \to 0}(\phi_(y+h)-\phi_y)/h)$
Ora $(\phi_(y+h)-\phi_y)(x)=\phi(x-y-h)-\phi(x-y)=\phi_y(x-h)-\phi_y(x)$
Quindi $(del)/(dely)T(\phi_y)=T(\lim_{h \to 0}(\phi_y(x-h)-\phi_y(x))/h)=T(\lim_{-h \to 0}-(\phi_y(x-h)-\phi_y(x))/-h)=-T((del)/(delx)\phi_y)$
Quindi generalizzando:
$D_y^alphaT(\phi_y)=(-1)^(|\alpha|)T(D^alpha\phi_y)$ e abbiamo verificato la prima parte dell'uguaglianza.
Ora dobbiamo verificare che $(-1)^|\alpha| T(D^alpha\phi_y)=(D^alphaT)(\phi_y)$
cioè
$-T((del)/(delx)\phi_y)=(DT)(\phi_y)$ dove la D indica la derivata della distribuzione.
Ma per definizione $(DT)(\phi_y)=-T((del)/(delx)\phi_y)$ e quindi abbiamo finito.
Che ne dici?
Grande!
La cosa buffa è che ieri sera ispirato dal tuo post che mi ha costretto a ragionare sulla natura degli operatori che stavo usando sono arrivato alla tua stessa catena di passaggi
Grazie
La cosa buffa è che ieri sera ispirato dal tuo post che mi ha costretto a ragionare sulla natura degli operatori che stavo usando sono arrivato alla tua stessa catena di passaggi
Grazie
Bene.
Sono contento.
ciao
Sono contento.
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