Derivate deboli... due esempi in cui non riesco a calcolarla

[Raphael1]

ciao a tutti! potreste aiutarmi a trovare la derivata debole delle seguenti funzioni $\in L_{loc}^1(0,2)$

1. $f(x)=x$ se $0 2. $f(x)=x$ se $0
Io non ci riesco! Grazie!

[Raphael1]

Io ho provato ad applicare la definizione di derivata debole che ho, cioè che $D^{\alpha}f:=f^{\alpha}$ tale che $\int_{\Omega}fD^{\alpha}\phidx=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}f^{\alpha}\phidx$, ma già a questo punto mi perdo completamente. Nel mio caso sarebbe $\int_{\Omega}=\int_0^2$, e $\alpha=1$ se non ho capito male. Però io provo a sostituire ma non riesco a vedere quello che dovrei trovare all fine... potreste aiutarmi? mi sa che interpreto male la definizione... grazie!

[ViciousGoblin]

Poniamo $g(x)=1$ se $0 $g$ quasi ovunque ). Chiaramente $ g$ è ( localmente ) integrabile.

(1) Sia $\phi$ in $D(0,2)$ (infinitamente derivabile e a supporto compatto in $]0,2[$. Si ha
$\int_0^2f(x)\phi'(x)dx=\int_0^1f(x)\phi'(x)dx+\int_1^2f(x)\phi'(x)dx=(\star)$
integriamo per parti in ognuno dei due sottointervalli - cosa possibile perché $f$ è una funzione
$C^1$ in OGNUNO DEI SOTTOINTERVALLI e la sua derivata vale $g$:
$(\star)= [-f(x)\phi(x)]_0^1+\int_0^1g(x)\phi(x)dx+[-f(x)\phi(x)]_1^2+\int_1^2g(x)\phi(x)dx=$
$-f(1)\phi(1)+f(1)\phi(1)+\int_0^2g(x)\phi(x)dx=\int_0^2g(x)\phi(x)dx$

cioè $f'=g$

(2) Facciamo gli stessi calcoli. Nota che possiamo ancora integrare per parti su $[0,1]$ e $[1,2]$ dato che $f$
(intervallo per intervallo) è equivalente a una funzione $C^1$ avente per derivata $g$ Si ha

$\int_0^2f(x)\phi'(x)dx=\int_0^1f(x)\phi'(x)dx+\int_1^2f(x)\phi'(x)dx=$
$(\star)= [-f(x)\phi(x)]_0^1+\int_0^1g(x)\phi(x)dx+[-f(x)\phi(x)]_1^2+\int_1^2g(x)\phi(x)dx=$
$-f(1^-)\phi(1)+f(1^+)\phi(1)+\int_0^2g(x)\phi(x)dx=(-1+2)\phi(1)+\int_0^2g(x)\phi(x)dx=\phi(1)+\int_0^2g(x)\phi(x)dx$

Dunque $f'=g+\delta_1$

P.S. ho indicato con $f(t^+)$/ $f(t^-)$ il limite destro/sinistro di $f$ in $t$ e con $\delta_1$ la distribuzione di Dirac concentrata in $1$ (cioe "$\delta(t-1)$").