Derivate complessa

[Pivot1]

Salve a tutti.
Volevo un chierimento in merito al calcolo della derivata di una funzione complessa. Per fissare il cancetto partiamo da un esempio semplice.

Calcolare la derivata della funzione:

f(z) = z;

allora f è derivabile in z_0 se sono simultaneamente soddisfatte le condizioni di Cauchy-Riemann cioè:

u_x (x_0,y_0) = v_y (x_0,y_0)
u_y (x_0,y_0) = - v_x (x_0,y_0)

Ma infatti esce

1 = 1
0 = 0

quindi f(z) = z è derivabile in z_0

Ma come faccio per calcolare effettivamente il valore della derivate?

ho pensato di usare la definizione di limite ma ho qualche difficoltà?
Mi mostrate come applicarla?
in generale posso considerare la z come la coppia (x y) e colcoare il limite in due variabili? Mi fate vedere come?

Grazie mille ciao

[spassky]

Visto che è rispettata la condizione di Cauchy-Riemann, f(z) è analitica e dunque le regole di derivazione sono formalmente analoghe a quelle esistenti nel campo reale ( compresi teoremi di linearità,prodotto,quoziente e composizione)

[Camillo]

Per calcolare la derivata puoi usare la definizione di derivata :
$lim_(h rarr 0) [f(z+h)-f(z)]/h $ se questo limite esiste ed è finito allora è : $ f'(z) $; naturalemnte h è complesso.

Nel caso hai : $ lim_(h rarr 0 ) [ z+h-z]/h = 1 $.

Camillo

[Pivot1]

ok grazie....mi trovo uguale.
l'unica cosa perchè nel caso complesso non vale il teorema della permanenza del segno?
Forse è perchè non si riescie a stabilire un ordine.....bo

[Tex87]

potreste dirmi per favore come devo fare per calcolare questo limite e se cortesemente potreste dirmi anche qual'è il risultato:

lim di x tende a 0 di sqrt(1+log(x+1))-1/sin(x)

GRAZIE

[Camillo]

Il limite è $1/2$ e lo si trova facilmente usando gli sviluppi di Taylor arrestati, in questo caso al primo termine, ricordando che :

$ ln(1+x) approx x$
$sqrt(1+x) approx 1+x/2 $ e quindi il numeratore $approx x/2 $

e anche che :
$ sin x approx x $
il denominatore $approx x$.
Si ha quindi : $ lim_(x rarr 0)(x/2)/x = 1/2 $.

Camillo

P.S. Era meglio aprire un altro topic !

[Tex87]

CIAO MI POTRESTE DIRE SE IL RISULTATO DELLA SEGUENTE DERIVATA E': (1/COS^2)(1/(1+X^2))?????


LA DERIVATA DA CALCOLARE E' LA SEGUENTE:

TAN((X)/(1+X^2))-ARCTAN((X)/(1+X^2))


GRAZIE!!!!!!!!