Derivate (48568)
Mi aiutate a fare la derivata prima e seconda di:
cioè.... e alla meno x fratto modulo di x-1
vorrei tanto capire dove sbaglio....
Grazie.. :hi
Aggiunto 1 giorni più tardi:
Per the.track...
prima di tutto grazie!!!! :D
Ho ragionato nella stessa maniera...e mi viene lo stesso tuo risultato...
Il problema è che è diverso dal risultato presente sul compito d'esame...
La derivata prima di f(x) è data da
-{x e^-x / (x-1)^2} per x>1
f'(x) =
x e^-x / (x-1)^2 per x1
f''(x)=
- { (x+1)^2 e^x / (x-1)^3 } per x
[math]e^ (-x)/|x-1|[/math]
cioè.... e alla meno x fratto modulo di x-1
vorrei tanto capire dove sbaglio....
Grazie.. :hi
Aggiunto 1 giorni più tardi:
Per the.track...
prima di tutto grazie!!!! :D
Ho ragionato nella stessa maniera...e mi viene lo stesso tuo risultato...
Il problema è che è diverso dal risultato presente sul compito d'esame...
La derivata prima di f(x) è data da
-{x e^-x / (x-1)^2} per x>1
f'(x) =
x e^-x / (x-1)^2 per x1
f''(x)=
- { (x+1)^2 e^x / (x-1)^3 } per x
Risposte
Dunque Hai una derivata di una frazione. Affidiamoci alla regola:
Per semplicità discutiamo il valore assoluto vedendo subito che avremo a denominatore
Dimmi se non capisci qualcosa.
La derivata seconda applichiamo sempre la stessa regola ma distribuendo in denominatore così ci semplifichiamo i calcoli da fare.
Avremo dunque:
Se hai dubbi chiedi.
[math]D\[\frac{f(x)}{g(x)}\] = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}[/math]
Per semplicità discutiamo il valore assoluto vedendo subito che avremo a denominatore
[math]x-1[/math]
se [math]x\geq 1[/math]
(che diventa > stretto per il dominio) e [math]1-x[/math]
se [math]x1.
[math]y'=\frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}1}{(x-1)^2}[/math]
[math]y'=\frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}1}{(x-1)^2}[/math]
Dimmi se non capisci qualcosa.
La derivata seconda applichiamo sempre la stessa regola ma distribuendo in denominatore così ci semplifichiamo i calcoli da fare.
[math]\frac{-e^{-x}(x-1)}{(x-1)^2}-\frac{e^{-x}}{(x-1)^2}[/math]
Avremo dunque:
[math]y''=\frac{e^{-x}(x-1)-e^{-x}1}{(x-1)^4}-\frac{-e^{-x}(x-1)^2 - e^{-x}\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}[/math]
Se hai dubbi chiedi.
prima ho letto di sfuggita una discussione sulla periodicità aperta da te.
in generale non è vero che sin^n(x) ha periodo 2pigreco. tinei conto che nel seguito uso indistintamente t, x, theta come variabili indipendenti.
se hai fatto i numeri complessi sai che vale:
elevando al quadrato ottieni:
non so che conoscenze hai a riguardo, comunque si procede così a questo punto: per prima cosa si verifica che
ammettiamo di avere due funzioni f e g periodiche, tali che il rapporto tra i loro periodi T1 e T2 è un numero razionale. in altri termini T1/T2 = m/n => n*T1 = m*T2 (m,n naturali primi tra loro)
ci chiediamo se h(t) = f(t) + g(t) (con le ipotesi sopra), implica che esiste T tale che h(t+T) = f(t+T) + g(t+T)
sicuramente se f(t) = f(t+T) e g(t) = g(t+T), h(t) = h(t+T).
sappiamo che f ha periodo T1, ma sicuramente ha anche periodo n*T1, essendo un suo multiplo. analogamente, g ha anche periodo m*T2 = n*T1. allora deduciamo che
per forza di cose T = n*T1 = m*T2, ed è proprio il periodo di h. abbiamo pertanto dimostrato che T esiste e h è periodica di periodo T, minimo comune multiplo tra i periodi di f e g.
tornando al problema di partenza, la funzione sin(theta) ha periodo 2*pigreco / 1, quindi sin^2(theta) ha periodo 2*pigreco / 2 (si può dimostrare che il periodo di
una maniera alternativa ma più limitata per arrivare a questo risultato è la seguente:
cos(2x) = cos^2x - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x), da cui sin^2(x) = (cos(2x) - 1)/2.
sapendo il periodo di cos(2x) ricavi che sin^2(x) ha il suo stesso periodo.
edit: per problemi di calcolo può essere utile questo sito: http://www.wolframalpha.com/
Aggiunto 21 ore 7 minuti più tardi:
sviluppa il prodotto al numeratore della derivata prima
in generale non è vero che sin^n(x) ha periodo 2pigreco. tinei conto che nel seguito uso indistintamente t, x, theta come variabili indipendenti.
se hai fatto i numeri complessi sai che vale:
[math] \sin (\theta ) = \frac {e^{j \theta} - e^{-j \theta}}{2j} [/math]
elevando al quadrato ottieni:
[math] \sin^2 (\theta ) = \frac {e^{2j \theta} + e^{-2j \theta} - 2}{-4} [/math]
non so che conoscenze hai a riguardo, comunque si procede così a questo punto: per prima cosa si verifica che
[math] \frac {e^{2j \theta} + e^{-2j \theta} - 2}{-4} [/math]
sia periodico. un risultato difficile da dimostrare è che la somma di funzioni periodiche è anch'essa periodica se (e solo se, sotto ulteriori ipotesi molto deboli) il rapporto tra i periodi è un numero razionale. ti do una giustificazione della prima implicazione:ammettiamo di avere due funzioni f e g periodiche, tali che il rapporto tra i loro periodi T1 e T2 è un numero razionale. in altri termini T1/T2 = m/n => n*T1 = m*T2 (m,n naturali primi tra loro)
ci chiediamo se h(t) = f(t) + g(t) (con le ipotesi sopra), implica che esiste T tale che h(t+T) = f(t+T) + g(t+T)
sicuramente se f(t) = f(t+T) e g(t) = g(t+T), h(t) = h(t+T).
sappiamo che f ha periodo T1, ma sicuramente ha anche periodo n*T1, essendo un suo multiplo. analogamente, g ha anche periodo m*T2 = n*T1. allora deduciamo che
per forza di cose T = n*T1 = m*T2, ed è proprio il periodo di h. abbiamo pertanto dimostrato che T esiste e h è periodica di periodo T, minimo comune multiplo tra i periodi di f e g.
tornando al problema di partenza, la funzione sin(theta) ha periodo 2*pigreco / 1, quindi sin^2(theta) ha periodo 2*pigreco / 2 (si può dimostrare che il periodo di
[math] e^{j a \theta} [/math]
è dato da [math] \frac{2 \pi}{|a|} [/math]
) una maniera alternativa ma più limitata per arrivare a questo risultato è la seguente:
cos(2x) = cos^2x - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x), da cui sin^2(x) = (cos(2x) - 1)/2.
sapendo il periodo di cos(2x) ricavi che sin^2(x) ha il suo stesso periodo.
edit: per problemi di calcolo può essere utile questo sito: http://www.wolframalpha.com/
Aggiunto 21 ore 7 minuti più tardi:
sviluppa il prodotto al numeratore della derivata prima
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo