Derivata valore assoluto

[salterel]

Buonasera,

mi sono bloccato su un concetto semplice: la derivata del valore assoluto.
Ho capito la dimostrazione ma non capisco il senso del perché df/dx(|x|)=|x|/x
Non si dovrebbe dire che la derivata del valore assoluto, svolgendo il modulo, sia -1 se x<0 e 1 se x>0. Infatti sarebbe sempre -x/x=-1 o x/x=1(cioè in pratica è sempre una funzione costante tra le due), perché non si scrive così invece?

Ringrazio chi vorrà rispoedermi

[Bremen000]

Ma infatti la derivata del valore assoluto è $\sign(x)$ se $x \ne 0$. È in $0$ che non si può derivare.

[salterel]

Grazie per la celere risposta.
Ma mi chiedevo quindi io potrei anche fare una cosa del genere

E' come se potessi studiare la funzione
|x| e dire ok derivo prima -x considerandone l'intorno negativo e poi considero l'intorno positivo x>0 e studio la derivata x che sono appunto costanti. E' poi anche possibile estendere a una |f(x)| studiandone separateamente gli intorni.
Rielaborando è indifferente dire che derivata di |x|= |x|/x oppure dire derivata di |x| vale: -1 e 1 sugli intorini x<0 e x>0? E' fattibile e corretto?

[Bremen000]

Non mi piace tanto l’uso della parola intorno. Userei piuttosto “intervalli”. Per il resto le ultime 3 righe sono corrette a patto di dire, appena prima della parola “oppure”, “se $x\ne 0$”.

Non ho capito la storia di $|f(x|$....

P.S. : cerca di usare le formule!

[salterel]

Grazie,

Con la storia di $f(x)$ intendevo dire che posso estendere derivata di $|x|$ "studiata" nell'intervallo x<0 e x>0 però considerando la generica f(x), cioè derivata di $f(x)$ studiata per $f(x)<0$ e $f(x)>0$ ecc.

[anto_zoolander]

"Bremen000":Non mi piace tanto l’uso della parola intorno.

???????

[Bremen000]

Ciao anto, sono solo mie fisime. Chiamare $(0, +\infty)$ intorno di $0$ non mi piace proprio (che poi lo sia un intorno destro ok, ma mi dà l’idea di qualcosa di piccolo la parola “intorno”, qua il contesto è un’altro...)

[anto_zoolander]

ciao Bremen

ma infatti $(0,+infty)$ o qualsiasi insieme superiormente illimitato è un intorno di $+infty$ e non di $0$, anche a me irriterebbe leggerlo
anche perché ricordando che un intorno di un punto è un insieme che contiene $0$ nella sua parte interna, questo non è nemmeno lontanamente vero in $[0,+infty]$

più che altro mi riferivo al fatto che nei limiti si usano intorni, la derivata è un limite, quindi è bene secondo me chiarire piuttosto le idee sugli intorni, cosa che molto spesso l'OP non ha ben chiaro

[Bremen000]

@anto

Guarda, devo darti atto di grandi doti di interpretazione. Purtroppo più vado avanti con gli studi più faccio fatica a capire quello che gli altri vogliono cumunicarmi: non avevo minimamente capito che l'OP stesse andando a calcolare la derivata come limite del rapporto incrementale, e infatti mi pareva strano l'uso del termine "intorno" che mi sembrava solo messo lì al posto di "intervallo". Pensavo infatti che facesse semplicemente

\[ |x| = \begin{cases} x \, \, \, \, \quad x>0 \\ -x \quad x <0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dx}|x| = \begin{cases} 1 \, \, \, \, \quad x>0 \\ -1 \quad x<0 \end{cases} \]

Per quanto riguarda la questione di $(0, +\infty)$ come "intorno destro di $0$", sono d'accordo con te che non è in effetti un intorno di $0$, ma, purtroppo, in molta matematica liceale e anche, temo, all'università viene proprio chiamato così. E quindi, nello sforzo di interpretare quanto scritto dall'OP, avevo pensato che facesse riferimento a questa "definizione".

Insomma tante cose scritte per giustificare che probabilmente non mi era chiaro il problema!

[salterel]

@Bremen
No, in realtà stavo proprio chiedendo quello,

"Bremen000":
\[ |x| = \begin{cases} x \, \, \, \, \quad x>0 \\ -x \quad x <0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dx}|x| = \begin{cases} 1 \, \, \, \, \quad x>0 \\ -1 \quad x<0 \end{cases} \]

il fatto che mi era stato detto, reminiscenze liceali appunto, che un intorno è un "Intervallo se vogliamo con centro in un punto". Quindi ho usato con leggerezza il concetto di intorno.
Così a questo punto mi avete fatto crescere in me una nuova domanda ma x<0 non si può considerare come intorno di meno infinito?
Perché è improprio come l'ho usato io?

Grazie ancora.

[Bremen000]

"salterel":@Bremen
No, in realtà stavo proprio chiedendo quello,

Quello cosa?

"salterel": un intorno è un "Intervallo se vogliamo con centro in un punto".

Non necessariamente, ma non vorrei solo complicarti la vita. Sicuramente un intervallo che contiene il punto (ma non negli estremi) è un intorno del punto.

"salterel": ma x<0 non si può considerare come intorno di meno infinito?

Io interpreto questa cosa come "ma $\{ x \in RR : x<0 \} = (-\infty, 0)$ non si può considerare come intorno di meno infinito"?

Si, lo è.

"salterel":
Perché è improprio come l'ho usato io?

Purtroppo non ho capito niente di quello che hai fatto tu.
Provo a tradurre quello che hai scritto nel tuo penultimo post:

"salterel+Bremen000":
E' come se potessi studiare la funzione $f(x) = |x|$ e dire, ok, derivo prima $-x$ (ovvero la restrizione di $f$ a $(-\infty, 0)$) e poi derivo $x$ (ovvero la restrizione di $f$ a $(0,+\infty)$) e poi mi accorgo che i risultati ottenuti sono le costanti $-1$ e $1$.

Una volta che ho ottenuto questo risultato posso, nell'atto di derivare una funzione del tipo $g(x)=|f(x)|$ con $f$ derivabile, applicare il medesimo ragionamento, ovvero considerare che

\[ g'(x) = \begin{cases} f'(x) \quad f(x) >0 \\ -f'(x) \quad f(x) <0 \end{cases} \]

Scritto così è corretto.

"salterel":Rielaborando è indifferente dire che derivata di |x|= |x|/x oppure dire derivata di |x| vale: -1 e 1 sugli intorni x<0 e x>0? E' fattibile e corretto?

In un contesto di questo tipo non è "bello" chiamare $(0, +\infty)$ e $(-\infty, 0)$ intorni perché non stiamo facendo nulla che riguardi un punto di cui sono intorni[nota]Oddio, si stiamo facendo la derivata e quindi un limite che ha che fare (pesantemente) con la nozione di intorno, ma non li stiamo guardando come intorno di $0$. Stiamo semplicemente distinguendo dei casi in base a "dove si trova $x$."[/nota]. Ha senso dire che la derivata del valore assoluto di $x$ è $1$ se $x>0$ e $-1$ se $x<0$.


Se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure, cerca di essere preciso!

[dissonance]

Comunque, mi pare che nessuno abbia notato la cosa più semplice, ovvero che
\[
\frac{|x|}{x}=\begin{cases} 1, & x>0 \\ -1, & x<0,\end{cases}\]
il che risponde immediatamente alla domanda originale:

non capisco il senso del perché df/dx(|x|)=|x|/x
Non si dovrebbe dire che la derivata del valore assoluto, svolgendo il modulo, sia -1 se x<0 e 1 se x>0

[salterel]

"Bremen000":Se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure, cerca di essere preciso!

Molto chiaro, grazie

@dissonance: grazie mille anche a te.