Derivata valore assoluto

[Domcal2116]

Buon pomeriggio ieri ho fatto il test di analisi matematica 1 e ho un dubbio su un quesito:

La derivata di $|x-2|^3$ nel punto x = 2 non esiste o è uguale a zero?

[walter891]

siccome il valore assoluto è elevato ad una potenza positiva la funzione risulta essere almeno di classe $C^1$ quindi la derivata prima esiste e vale $0$

[Domcal2116]

Ok grazie. Una curiosità ancora se applicò la regola di derivazione del valore assoluto, al denominatore non viene $|x-2|$ e quindi x = 2 non appartiene al dominio della derivata.

[gio73]

Ciao,
io mi sono immaginata il grafico della funzione e in corrispondenza di $x=2$ mi trovo un punto di minimo, non vedo angolature o salti

[Kashaman]

"Domcal2116":Ok grazie. Una curiosità ancora se applicò la regola di derivazione del valore assoluto, al denominatore non viene $|x-2|$ e quindi x = 2 non appartiene al dominio della derivata.

Hai che $f'(x)= (x-2)/|x-2|$
Per mostrare che $f$ è derivabile in $2$ , bisogna mostrare che $lim_{x->2^+}f'(x)=lim_{x->2^-}f'(x)$ .
In effetti hai che
$lim_{x->2^+}f'(x) = 1=f'_d(2)$ mentre $lim_{x->2^-}f'(x)=-1=f'_s(2)$
Cioè la derivata destra e la derivata sinistra di $2$ sono diverse.. Ne segue allora che $f(x)$ non è derivabile in $2$. E che $2$ per tale $f$ è un punto angoloso.

riassumendo .. $f \in C(RR) nn C^1(RR\\{2})$

[Kashaman]

Il teorema che può esserti utile in situazioni analoghe è questo :

Sia $f :A -> RR$ e sia $x_0 \in \dot(A)$ ($x_0$ deve essere interno ad $A$). E sia $V \in I_{x_0}$ (V intorno sferico di centro $x_0$.) Supponiamo $f$ derivabile in $V nn A \\{x_0}$
Se $EE lim_{x->x_0} f'(x) = l \in RR => f'(x_0)= l \in RR$

E' banale conseguenza del teorema di Hopital - Bernulli.

Infatti , consideriamo
$lim_{x->x_0} ( (f(x)-f(x_0))/(x-x_0))$, Poiché sono soddisfatte le ipotesi di H , applicando hopital si ottiene che ,
$f'(x_0)= lim_{x->x_0} ( (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) =^H=lim_ {x->x_0} f'(x_0) =l => f'(x_0)=l$. La tesi.

Attenzione che il viceversa del teoremino è palesamente falso.
Verifica tu stesso che la funzione : $g(x)$
\begin{cases}
x^2sin(1/x) & \text{ se } x \in \mathbb{R}-{0} \\
0& \text{ se } x= 0
\end{cases}
E' derivabile ovunque e si ha che $g'(0)=0$
ma Non esiste $lim_{x->0}g'(x)$

[gio73]

Scusa Kash, forse sono un po' confusa ma la funzione è
$f(x)=|x-2|^3$
non
$f(x)=|x-2|$

"Domcal2116":

La derivata di $|x-2|^3$ nel punto x = 2 non esiste o è uguale a zero?

[Kashaman]

Ops, sorry , letto male! Allora hai ragione, è derivabile ovunque.