Derivata totale e direzionale
Studiando fisica mi sono accordo dell'uso di una derivata detta "totale": https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_ ... l_continuo
Mi sono accorto a livello di formalismo essere simile a una derivata direzionale classica e discendere da una derivazione composta. Incuriosito ho cercato di approfondire il legame anche qui sul forum e no trovato questo:
Che sembra in effetti confermare lamia intuizione, in effetti puramente in modo informale viene vista come
$d/(dt)f=(df)/(dx)(v_xdt)/(dt)+...=(df)/(dx)v_x+...$ insomma la formula del gradiente $\gradf*\vecv$ più la derivata euleriana perché è una funzione anche in t.
Però mi piacerebbe chiarire in modo formale, cioè dimostrandolo che sono alla fin fine la stessa cosa "derivata totale" e "derivata direzionale". Ma come si fa? E' un po' che ci penso.
Mi sono accorto a livello di formalismo essere simile a una derivata direzionale classica e discendere da una derivazione composta. Incuriosito ho cercato di approfondire il legame anche qui sul forum e no trovato questo:
Che sembra in effetti confermare lamia intuizione, in effetti puramente in modo informale viene vista come
$d/(dt)f=(df)/(dx)(v_xdt)/(dt)+...=(df)/(dx)v_x+...$ insomma la formula del gradiente $\gradf*\vecv$ più la derivata euleriana perché è una funzione anche in t.
Però mi piacerebbe chiarire in modo formale, cioè dimostrandolo che sono alla fin fine la stessa cosa "derivata totale" e "derivata direzionale". Ma come si fa? E' un po' che ci penso.
Risposte
Infatti, non sono la stessa cosa.
Ciao gugo, grazie per la risposta.
Potrei chiederti allora i punti in comune, non riesco bene a capire come funzioni la derivata totale e in analisi non ne abbiamo parlato. Ho solo trovato la risposta di patrone ma non ci sono ancora sulla comprenisone.
Potrei chiederti allora i punti in comune, non riesco bene a capire come funzioni la derivata totale e in analisi non ne abbiamo parlato. Ho solo trovato la risposta di patrone ma non ci sono ancora sulla comprenisone.
Assegnata una funzione $f:RR xx Omega -> RR$ (con $Omega sube RR^N$ aperto) e ed una curva $mathbf(x): (a,b) -> Omega$ entrambe sufficientemente regolari, si chiama derivata totale di $f$ lungo la curva $mathbf(x) = mathbf(x)(t)$ la derivata (usuale) della funzione composta $phi(t) := f(t, mathbf(x)(t))$, la quale è data da:
$("D"f)/("D" t)(t) := dot(phi)(t) = (partial f)/(partial t)(t, mathbf(x)(t)) + nabla_(mathbf(x)) f(t,mathbf(x)(t)) • dot(mathbf(x))(t) = (partial f)/(partial t)(t, mathbf(x)(t)) + sum_(n=1)^N (partial f)/(partial x_n)(t, mathbf(x)(t)) * dot(mathbf(x))_n(t)$
per il teorema di derivazione delle funzioni composte e la formula del gradiente.
E, per favore, non usare it.wiki come riferimento per la Matematica. In gran parte è scritta da schifo.
$("D"f)/("D" t)(t) := dot(phi)(t) = (partial f)/(partial t)(t, mathbf(x)(t)) + nabla_(mathbf(x)) f(t,mathbf(x)(t)) • dot(mathbf(x))(t) = (partial f)/(partial t)(t, mathbf(x)(t)) + sum_(n=1)^N (partial f)/(partial x_n)(t, mathbf(x)(t)) * dot(mathbf(x))_n(t)$
per il teorema di derivazione delle funzioni composte e la formula del gradiente.
E, per favore, non usare it.wiki come riferimento per la Matematica. In gran parte è scritta da schifo.
Questa è un esempio di derivata direzionale :
LA derivata totale, o materiale o sostanziale, invece non è altro che una derivata rispetto al tempo di una funzione composta (matematici correggetemi se sbaglio) :
la parte “convettiva” di $D/(Dt) $ si può intendere come $vecu*vec\nabla$ , come vedi dalla formula 1.22.
Questa roba trova applicazione in fluidodinamica, perciò si parla di velocità.
Naturalmente la definizione di gugo è matematicamente perfetta, quella del libro che ho messo è la definizione del “fisico un po’ confuso” che diceva Fioravante Patrone.
LA derivata totale, o materiale o sostanziale, invece non è altro che una derivata rispetto al tempo di una funzione composta (matematici correggetemi se sbaglio) :
la parte “convettiva” di $D/(Dt) $ si può intendere come $vecu*vec\nabla$ , come vedi dalla formula 1.22.
Questa roba trova applicazione in fluidodinamica, perciò si parla di velocità.
Naturalmente la definizione di gugo è matematicamente perfetta, quella del libro che ho messo è la definizione del “fisico un po’ confuso” che diceva Fioravante Patrone.
Vi ringrazio tantissimo per le risposte.
Però in realtà mi sembra confermiate che
O forse continua a sfuggirmi qualcosa.
Però in realtà mi sembra confermiate che
insomma la formula del gradiente $\gradf*\vecv$ più la derivata euleriana perché è una funzione anche in t.
O forse continua a sfuggirmi qualcosa.
Dato un fluido in moto, e detta $vecv(t)$ la velocità di una particella, ci sono due punti di vista:
1) il punto di vista lagrangiano, in cui la particella è seguita nel suo moto dall’inizio alla fine di un certo percorso; per cui la derivata della velocità rispetto al tempo ( accelerazione) è la totale, formata da un termine locale, quello dove compare la sola derivata parziale rispetto a t, e dai termini convettivi , i rimanenti nella formula
2) il punto di vista Euleriano, in cui si fissa un punto del campo di velocità, come se puntassi su di esso una cinepresa, e si considera come varia la velocità, nel tempo, di tutte le particelle passanti per quel punto .
A volte si usa uno, a volte l’altro .
1) il punto di vista lagrangiano, in cui la particella è seguita nel suo moto dall’inizio alla fine di un certo percorso; per cui la derivata della velocità rispetto al tempo ( accelerazione) è la totale, formata da un termine locale, quello dove compare la sola derivata parziale rispetto a t, e dai termini convettivi , i rimanenti nella formula
2) il punto di vista Euleriano, in cui si fissa un punto del campo di velocità, come se puntassi su di esso una cinepresa, e si considera come varia la velocità, nel tempo, di tutte le particelle passanti per quel punto .
A volte si usa uno, a volte l’altro .
"Kanal":
...
Naturalmente la definizione di gugo è matematicamente perfetta, quella del libro che ho messo è la definizione del “fisico un po’ confuso” che diceva Fioravante Patrone.
Guarda, ti devo dire la verità. Ho solo scorso le pagine che hai citato, non avevo né tempo né interesse ad approfondire. Però mi sentivo a disagio
Complimenti a te, comunque! Seriamente.
"Fioravante Patrone":
......
Guarda, ti devo dire la verità. Ho solo scorso le pagine che hai citato, non avevo né tempo né interesse ad approfondire. Però mi sentivo a disagio
Complimenti a te, comunque! Seriamente.
Mi confondi, egregio Fioravante ! Tu sei un famoso professore di matematica, io mi arrabatto di qui e di là, con libri che trovo in giro, con ricordi, con l’esperienza che mi viene dall’aver trattato a lungo certi problemi. La fluidodinamica è una materia complessa, perché tante sono le tipologie di fluidi e di moto che si trattano; ciò che è riportato in quelle pagine è solo un accenno a impostazioni di base, che una volta imparate non dimentichi più.
Grazie ancora.
Grazie per gli interventi
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