Derivata totale

[antonio9992]

Come si dimostra che:

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?

Grazie

[feddy]

E' quella che in fluidodinamica ad esempio viene chiamata "derivata sostanziale". Se si vuole seguire la variazione di $f$ muovendosi lungo la traiettoria descritta da una ipotetica particella che cambia la propria posizione nel tempo secondo la legge oraria $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$, allora si considera la derivata totale in quanto $f(\mathbf{r}(t),t)$ è funzione solo del tempo.
Percio

$\frac{d}{dt} f(\mathbf{r}(t),t)=\frac{d}{dt} f(x(t),y(t),t)= \frac{\partial f}{ \partial x} \frac{dx}{dt} +\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{dt} = \frac{\partial f}{ \partial t} +\mathbf{u} \cdot \nabla f $

dove con $\mathbf{u}$ si intende il campo di moto al quale è soggetto l'elemento di fluido

[antonio9992]

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$ (df) /(dt) =lim_((deltat) -> 0)( f(x, y, t) - f(x_0,y,t)+f(x_0,y,t)-f(x_0,y_0,t)+f(x_0,y_0,t)-f(x_0,y_0,t_0))/(deltat)=lim_((deltat) -> 0)( (f(x, y, t) - f(x_0,y,t)) /(deltax) ((deltax) /(deltat)) +(f(x_0,y,t)-f(x_0,y_0,t) )/(deltay)((deltay) /(deltat)) +(f(x_0,y_0,t)-f(x_0,y_0,t_0) )/(deltat)) $

Da cui la tesi.

Va bene?