Derivata totale
Questa è la formula della derivata totale:
[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab47c1fa65102d8627824e4cff2b583b0be4e013[/img]
Questa è parte della formulazione per dimostrare il differenziale totale:
[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244693bb30c3f53a7dbd97b5829508ce7beb66c6[/img]
Ora la prima è una formula che vale in generale, la seconda vale per le varietà geometriche per il campo euclideo.
Ma la prima come si dimostra? Io utilizzerei la formulazione della seconda immagine e aggiungersi il tempo come variabile tale che:
$ f=f(x(t),y(t),t) $
In tal caso si dovrebbe dividere per deltat e non per la variazione di distanza, e bisognerebbe utilizzare il teorema di lagrange anche per t
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Questa è parte della formulazione per dimostrare il differenziale totale:
[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244693bb30c3f53a7dbd97b5829508ce7beb66c6[/img]
Ora la prima è una formula che vale in generale, la seconda vale per le varietà geometriche per il campo euclideo.
Ma la prima come si dimostra? Io utilizzerei la formulazione della seconda immagine e aggiungersi il tempo come variabile tale che:
$ f=f(x(t),y(t),t) $
In tal caso si dovrebbe dividere per deltat e non per la variazione di distanza, e bisognerebbe utilizzare il teorema di lagrange anche per t
Risposte
La seconda formula si riferisce a funzioni delle sole variabili spaziali: $f=f(x,y)$, non c'è nessun riferimento a $t$.
"dissonance":
La seconda formula si riferisce a funzioni delle sole variabili spaziali: $f=f(x,y)$, non c'è nessun riferimento a $t$.
Si
Il teorema di Taylor per più variabili vale solo se x e y rappresentano le coordinate rispetto ad una terna di riferimento cartesiana giusto? Si dimostra utilizzando la dimostrazione del differenziale totale che utilizza il concetto di distanza pitagorica
Da nessuna parte ho mai letto che gli sviluppi in serie di Taylor valgono esclusivamente per la geometria differenziale e quindi per lo spazio euclideo.
Quindi anche il cambio di variabili per integrali multipli riguarda solo la geometria euclidea perché utilizza lo sviluppo in serie di Taylor (matrice jacobiano).
È una cosa che non insegnano
Forse sbaglio?
Da nessuna parte ho mai letto che gli sviluppi in serie di Taylor valgono esclusivamente per la geometria differenziale e quindi per lo spazio euclideo.
Quindi anche il cambio di variabili per integrali multipli riguarda solo la geometria euclidea perché utilizza lo sviluppo in serie di Taylor (matrice jacobiano).
È una cosa che non insegnano
Forse sbaglio?
E' una buona domanda. E' vero che si usano concetti strettamente euclidei nella definizione stessa di sviluppo di Taylor. D'altra parte, uno sviluppo di Taylor è un risultato *locale*, nel senso che dipende solo dal comportamento della funzione in un intorno del punto considerato. Localmente, tutta la geometria differenziale è euclidea. Quindi gli sviluppi di Taylor hanno senso su tutti gli spazi della geometria differenziale, compresi gli spazi della geometria Riemanniana (leggi: meccanica classica) e pseudo-Riemanniana (leggi: meccanica relativistica).
Nel caso specifico è tutto molto più semplice. Hai una funzione $f=f(t, x, y)$. Qui \(t\in \mathbb R\) e \(x, y\in \Omega\subset \mathbb R^n\), dove \(\Omega\) è un insieme aperto (questo è il setup standard della meccanica dei fluidi). Il simbolo di derivata totale indica la derivata
\[\frac{d}{dt}\left( f(t, x(t), y(t))\right), \]
che si calcola con la regola della catena, come tra l'altro tu hai già scritto sopra.
In particolare, la struttura geometrica sottostante, quindi, è quella euclidea (se vuoi essere più preciso, quando parli di uno spazio euclideo che comprende anche il tempo parli di "spazio Galileiano") anche a livello globale.
Nel caso specifico è tutto molto più semplice. Hai una funzione $f=f(t, x, y)$. Qui \(t\in \mathbb R\) e \(x, y\in \Omega\subset \mathbb R^n\), dove \(\Omega\) è un insieme aperto (questo è il setup standard della meccanica dei fluidi). Il simbolo di derivata totale indica la derivata
\[\frac{d}{dt}\left( f(t, x(t), y(t))\right), \]
che si calcola con la regola della catena, come tra l'altro tu hai già scritto sopra.
In particolare, la struttura geometrica sottostante, quindi, è quella euclidea (se vuoi essere più preciso, quando parli di uno spazio euclideo che comprende anche il tempo parli di "spazio Galileiano") anche a livello globale.
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Regola_della_catena
Che poi qui la regola della catena è dimostrata in modo complesso, non basta fare:
$ (f(g(x+h))-f(g(x)))/h=((f(g(x+h))-f(g(x)))/h)(g(x+h)-g(x))/(g(x+h)-g(x)) $
Facile da continuare ovviamente al limite e con x punto fisso (non so il codice per i pedici)
O c'è un errore?
Che poi qui la regola della catena è dimostrata in modo complesso, non basta fare:
$ (f(g(x+h))-f(g(x)))/h=((f(g(x+h))-f(g(x)))/h)(g(x+h)-g(x))/(g(x+h)-g(x)) $
Facile da continuare ovviamente al limite e con x punto fisso (non so il codice per i pedici)
O c'è un errore?
Nessun errore, si fa così, poi c'è da fare un po' di tecnicismi matematici (che succede se il denominatore fa zero? etc...), ma è esattamente quella l'idea. E' per quello che la notazione di Leibniz funziona: \(\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\). Si appoggia sulla stessa idea di "moltiplicare e dividere per l'incremento di \(g\)", dimenticando per un attimo che c'è anche da passare al limite.
e se facessi:
Per lagrange
$ f(x+h)=f(x)+((partial f(a))/(partial x))h $
E vale:
$ f(x(t+deltat))=f(x(t))+(partial f)/(partial x)(a(b))(x(t+Deltat)-x(t)) $
Infatti per $ deltax $ nullo al variare di $ t $ ci restituisce un'identità
E al limite:
$ (partial f)/(partial t)= (partial f)/(partial x)(partial x)/(partial t) $
Sarebbe valida come dimostrazione?
Per lagrange
$ f(x+h)=f(x)+((partial f(a))/(partial x))h $
E vale:
$ f(x(t+deltat))=f(x(t))+(partial f)/(partial x)(a(b))(x(t+Deltat)-x(t)) $
Infatti per $ deltax $ nullo al variare di $ t $ ci restituisce un'identità
E al limite:
$ (partial f)/(partial t)= (partial f)/(partial x)(partial x)/(partial t) $
Sarebbe valida come dimostrazione?
O ancora al limite nell'ipotesi che la derivata di x non sia nulla
$ (f(x(t+deltat))-f(x(t)))/(deltat)=(f(x(t+deltat))-f(x(t)))/(deltat)(x(t+deltat)-x(t))/(deltat)(deltat)/(x(t+deltat)-x(t))=(partial f)/(partial x)(partial x)/(partial t) $
per derivata di x nulla, x costante:
$ (partial f)/(partial t)(x(t))=0 $
Quindi la formula:
$ ((partial f)/(partial t))(x(t))=(partial f)/(partial x)(partial x)/(partial t) $
È sempre valida
Va bene?
$ (f(x(t+deltat))-f(x(t)))/(deltat)=(f(x(t+deltat))-f(x(t)))/(deltat)(x(t+deltat)-x(t))/(deltat)(deltat)/(x(t+deltat)-x(t))=(partial f)/(partial x)(partial x)/(partial t) $
per derivata di x nulla, x costante:
$ (partial f)/(partial t)(x(t))=0 $
Quindi la formula:
$ ((partial f)/(partial t))(x(t))=(partial f)/(partial x)(partial x)/(partial t) $
È sempre valida
Va bene?
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