Derivata strana...
Ciao a tutti...
ho un dubbio atroce che mi è preso ieri sfogliando il quaderno di Analisi 2....
Prima di tutto mi serve avere conferma su un passaggio...
Se ho la funzione:
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{se } x=0 \\ 1 & \mbox{se } x\neq0
\end{cases} \)
Qual'è la sua derivata nel punto \(\displaystyle x=0 \) ? Io direi che non c'è... altrimenti potrei dire
che è pure continua in zero.... e fin qui tutto bene....
Ma esistono la derivata destra e sinistra?
ho un dubbio atroce che mi è preso ieri sfogliando il quaderno di Analisi 2....
Prima di tutto mi serve avere conferma su un passaggio...
Se ho la funzione:
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{se } x=0 \\ 1 & \mbox{se } x\neq0
\end{cases} \)
Qual'è la sua derivata nel punto \(\displaystyle x=0 \) ? Io direi che non c'è... altrimenti potrei dire
che è pure continua in zero.... e fin qui tutto bene....
Ma esistono la derivata destra e sinistra?
Risposte
Circa la derivabilità in \(0\) hai ragione.
Per quanto riguarda le derivate destra e sinistra, usa la definizione.
Per quanto riguarda le derivate destra e sinistra, usa la definizione.
Ma una funzione discontinua in un punto, può essere derivabile?
Mi lancio... perchè è un dubbio che ho anche io...
Le discontinuità delle funzioni possono essere di vari tipi, credo...
ad esempio la funzione non esiste in un determinato punto e se faccio il limite destro mi viene un valore ( finito o infinito) e se faccio il limite sinistro un altro valore (finito o infinito), comunque un altro valore, la funzione è discontinua e la discontinuità non è eliminabile, non posso "attaccare" i due rami.
La funzione non esiste in un punto, ma esiste il suo limite (uguale da destra e da sinistra), ma purtroppo è infinito, di nuovo non riesco a eliminare la discontinuità...
La funzione non esiste in un punto, ma esiste il suo limite (uguale da destra e da sinistra) ed è finito, allora potrei eliminare la discontinuità dicendo che la funzione è quella che è in tutto il suo insieme di definizione, mentre assume il valore del limite per il punto in cui non era definita
esempio $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ non esiste in x=1, però dico che per x=1 vale f(x)=2
Se poi faccio le derivate vedo che avvicinandomi sia da destra che da sinistra la derivata tende ad assumere lo stesso valore, quel punto speciale non è "angoloso" (è corretto questo termine?)
Le discontinuità delle funzioni possono essere di vari tipi, credo...
ad esempio la funzione non esiste in un determinato punto e se faccio il limite destro mi viene un valore ( finito o infinito) e se faccio il limite sinistro un altro valore (finito o infinito), comunque un altro valore, la funzione è discontinua e la discontinuità non è eliminabile, non posso "attaccare" i due rami.
La funzione non esiste in un punto, ma esiste il suo limite (uguale da destra e da sinistra), ma purtroppo è infinito, di nuovo non riesco a eliminare la discontinuità...
La funzione non esiste in un punto, ma esiste il suo limite (uguale da destra e da sinistra) ed è finito, allora potrei eliminare la discontinuità dicendo che la funzione è quella che è in tutto il suo insieme di definizione, mentre assume il valore del limite per il punto in cui non era definita
esempio $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ non esiste in x=1, però dico che per x=1 vale f(x)=2
Se poi faccio le derivate vedo che avvicinandomi sia da destra che da sinistra la derivata tende ad assumere lo stesso valore, quel punto speciale non è "angoloso" (è corretto questo termine?)
Se è una funzione è derivabile in $x_0$ è anche continua in $x_0$.. Non vale però il contrario 
Ad esempio $f(x)=|x|$ è continua, ma presenta un punto di non derivabilità in $x=0$
Per stabilire se $f(x)$ è derivabile eccetto in un certo punto $x_0$ calcolo:
$lim_(x->x_0-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
Se i 2 limiti esistono finiti e sono uguali allora $f(x)$ è derivabile in $x_0$.
Se i 2 limiti esistono finiti ma sono diversi tra loro allora $x_0$ è punto angoloso.
Se i 2 limiti esistono infiniti e sono di segno concorde ( quindi diremo che il rapporto incrementale è $+infty$ o $-infty$), allora $x_0$ è punto a tangente verticale.
Se i 2 limiti sono entrambi infiniti ma di segno discorde, allora $x_0$ è un punto di cuspide.
Se il limite del rapporto incrementale non esiste, semplicemente la funzione non è derivabile ed il punto di non derivabilita \(x_0\) non rientra nella casistica precedente.
Ad esempio $f(x)=|x|$ è continua, ma presenta un punto di non derivabilità in $x=0$
Per stabilire se $f(x)$ è derivabile eccetto in un certo punto $x_0$ calcolo:
$lim_(x->x_0-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
Se i 2 limiti esistono finiti e sono uguali allora $f(x)$ è derivabile in $x_0$.
Se i 2 limiti esistono finiti ma sono diversi tra loro allora $x_0$ è punto angoloso.
Se i 2 limiti esistono infiniti e sono di segno concorde ( quindi diremo che il rapporto incrementale è $+infty$ o $-infty$), allora $x_0$ è punto a tangente verticale.
Se i 2 limiti sono entrambi infiniti ma di segno discorde, allora $x_0$ è un punto di cuspide.
Se il limite del rapporto incrementale non esiste, semplicemente la funzione non è derivabile ed il punto di non derivabilita \(x_0\) non rientra nella casistica precedente.
"Obidream":
Se è una funzione è derivabile in $x_0$ è anche continua in $x_0$.. Non vale però il contrario
Ad esempio $f(x)=|x|$ è continua, ma presenta un punto di non derivabilità in $x=0$
Per stabilire se $f(x)$ è derivabile eccetto in un certo punto $x_0$ calcolo:
$lim_(x->x_0-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
Se i 2 limiti esistono finiti e sono uguali allora $f(x)$ è derivabile in $x_0$.
Se i 2 limiti esistono finiti ma sono diversi tra loro allora $x_0$ è punto angoloso.
Se i 2 limiti esistono infiniti e sono di segno concorde ( quindi diremo che il rapporto incrementale è $+infty$ o $-infty$), allora $x_0$ è punto a tangente verticale.
Se i 2 limiti sono entrambi infiniti ma di segno discorde, allora $x_0$ è un punto di cuspide.
Se il limite del rapporto incrementale non esiste, semplicemente la funzione non è derivabile ed il punto di non derivabilita \(x_0\) non rientra nella casistica precedente.
tali concetti possono essere estesi in $RR^n$ ? (punto angoloso, di cuspide .... ) e per mostrare che $f(x)=|x|$ non è derivabile in $RR^n$ basta che faccio sempre il limite del rapporto incrementale?
Ma tu intendi funzioni a valori in $RR^n->RR$ o funzioni a valori in $RR^n->RR^m$?
Anche se sono argomenti nuovi anche per me per ora a lezione non ci hanno mai parlato punti angolosi, ma solo di derivabilità e non derivabilità.. Però non sono molto esperto su queste cose
Anche se sono argomenti nuovi anche per me per ora a lezione non ci hanno mai parlato punti angolosi, ma solo di derivabilità e non derivabilità.. Però non sono molto esperto su queste cose
"Obidream":
Ma tu intendi funzioni a valori in $RR^n->RR$ o funzioni a valori in $RR^n->RR^m$?
Anche se sono argomenti nuovi anche per me per ora a lezione non ci hanno mai parlato punti angolosi, ma solo di derivabilità e non derivabilità.. Però non sono molto esperto su queste cose
la funzione $f(x)=|x|$ in $RR^n$ è del tipo:
$x = (x_i)$ con $i =1.....n$
infatti chiedevo, perchè di punti 'angolosi' io non ne ho sentito parlare, credevo erroneamente che tali concetti fossero estensibili. Sul libro funzioni come questa è continua ma non derivabile in $x_0$ , per dimostrarlo sono partito da $RR$ non so se sia giusto!
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