Derivata sostanziale!
scusate potreste dirmi come si esegue questa derivata:
$(dv)/(dt)$ dove $v$ è un campo vettoriale di velocita $v(x,y,z,t)=(U,V,W)$
sugli appunti presi in classe mi ritrovo scritto che considerando solo la prima componente, si ha:
$(\partialU)/(\partial t) + (\partial UU)/(\partial x) + (\partial UV)/(\partial y) + (\partial UW)/(\partial z)$
ma non riesco a capire perchè?
$(dv)/(dt)$ dove $v$ è un campo vettoriale di velocita $v(x,y,z,t)=(U,V,W)$
sugli appunti presi in classe mi ritrovo scritto che considerando solo la prima componente, si ha:
$(\partialU)/(\partial t) + (\partial UU)/(\partial x) + (\partial UV)/(\partial y) + (\partial UW)/(\partial z)$
ma non riesco a capire perchè?
Risposte
Dovresti esplicitare meglio la dipendenza delle variabili: da quello che vedo, parrebbe che $x=x(t),\ y=y(t),\ z=z(t)$ (almeno). In ogni caso non mi torna: se stai derivando un campo, deve venire un campo: perché sommi le derivate?
ok si scusa, la dipendenza del campo di velocità non è soltanto temporale ma anche spaziale, cioè:
$v(x,y,z,t)=(U(x,y,z,t),V(x,y,z,t),W(x,y,z,t))$
per spiegarmi meglio, io so che la derivata sostanziale di un campo scalare $f(x,y,z,t)$ e uguale a:
$(df)/(dt)$ = $(\partialf)/(\partial t) + (\partial f)/(\partial x)(dx)/(dt) + (\partial f)/(\partial y)(dy)/(dt) + (\partial f)/(\partial z)(dz)/(dt)$ (derivata di unafunzine composta);
e nel caso in cui $f $ sia una grandezza fisica associata ad un moto di una particella si ha che: $(dx)/(dt)$,$(dy)/(dt)$,$(dz)/(dt)$ sono le componenti della velocità della particella.
E cioè si puo scrivere :
$(df)/(dt)$ = $(\partial f)/(\partial t)+ v * grad f$
ora nel caso di un campo vettoriale $v$ mi aspetto di ottenere lo stesso risultato per ogni componente $(U,V,W)$ e quindi ottenere per esempio per la prima componente $U$ :
$(\partialU)/(\partial t) + (\partial U)/(\partial x)U + (\partial U)/(\partial y)V+ (\partial U)/(\partial z)W$
Che però non coincide col l'espressione che ha scritto il mio prof!
$v(x,y,z,t)=(U(x,y,z,t),V(x,y,z,t),W(x,y,z,t))$
per spiegarmi meglio, io so che la derivata sostanziale di un campo scalare $f(x,y,z,t)$ e uguale a:
$(df)/(dt)$ = $(\partialf)/(\partial t) + (\partial f)/(\partial x)(dx)/(dt) + (\partial f)/(\partial y)(dy)/(dt) + (\partial f)/(\partial z)(dz)/(dt)$ (derivata di unafunzine composta);
e nel caso in cui $f $ sia una grandezza fisica associata ad un moto di una particella si ha che: $(dx)/(dt)$,$(dy)/(dt)$,$(dz)/(dt)$ sono le componenti della velocità della particella.
E cioè si puo scrivere :
$(df)/(dt)$ = $(\partial f)/(\partial t)+ v * grad f$
ora nel caso di un campo vettoriale $v$ mi aspetto di ottenere lo stesso risultato per ogni componente $(U,V,W)$ e quindi ottenere per esempio per la prima componente $U$ :
$(\partialU)/(\partial t) + (\partial U)/(\partial x)U + (\partial U)/(\partial y)V+ (\partial U)/(\partial z)W$
Che però non coincide col l'espressione che ha scritto il mio prof!
"staff1":
E cioè si puo scrivere :
$(dv)/(dt)$ = $(\partial U)/(\partial t)+ v * grad U$
Questa cosa non mi torna: secondo me dovrebbe essere
${dv}/{dt}={\partial v}/{\partial t}+v\times \nabla v$
($\times$ è il prodotto scalare).
scusa avevo fatto un po di confusione nello scrivere ora lo corretto, comunque si è il prodotto scalare io di solito lo indico con il punto!
Vediamo, dovrebbe venire così, per la prima componente
${dU}/{dt}={\partial U}/{\partial t}+{\partial U}/{\partial x}\ U+{\partial U}/{\partial y}\ V+{\partial U}/{\partial z}\ W$
Probabilmente hai messo $U, V, W$ insieme alle derivazioni senza rendertene conto, ma andavano solo moltiplicati...
${dU}/{dt}={\partial U}/{\partial t}+{\partial U}/{\partial x}\ U+{\partial U}/{\partial y}\ V+{\partial U}/{\partial z}\ W$
Probabilmente hai messo $U, V, W$ insieme alle derivazioni senza rendertene conto, ma andavano solo moltiplicati...
si anche secondo me dovrebbe venire come dici te!
Però non ho copiato male perché questo passaggio sta in una dimostrazione, ma se si deriva come diciamo noi non è possibile proseguire con la dimostrazione, cioè viene soltanto se si deriva come ha fatto il mio prof!
Però non ho copiato male perché questo passaggio sta in una dimostrazione, ma se si deriva come diciamo noi non è possibile proseguire con la dimostrazione, cioè viene soltanto se si deriva come ha fatto il mio prof!
ti posto la dimostrazione!
$(dRv)/(dt)$ dove $v$ è un campo vettoriale e $R$ un campo scalare, dipendenti dallo spazio e dal tempo
ragionando su la prima componente si ha:
$(dRU)/(dt)$ = $(\partial RU)/(\partial t) + (\partial RUU)/(\partial x) + (\partial RUV)/(\partial y) + (\partial RUW)/(\partial z)$
=$R(\partialU)/(\partial t)+ U(\partial R)/(\partial t)+U(\partial RU)/(\partial x) + RU(\partial U)/(\partial x)+ RV(\partial U)/(\partial y) +U(\partial RV)/(\partial y) + U(\partial RW)/(\partial z) +RW(\partial U)/(\partial z)$
=$U((\partial R)/(\partial t)+(\partial RU)/(\partial x)+(\partial RV)/(\partial y)+(\partial RW)/(\partial z))+R((\partialU)/(\partial t)+U(\partial U)/(\partial x)+V(\partial U)/(\partial y)+W(\partial U)/(\partial z))$
=$U((\partial R)/(\partial t) + nabla ^^ (Rv)) + R(dU)/(dt)$
[($nabla ^^(Rv$) sta a indicare la divergenza]
ora il primo membro è nullo(è una proprietà), allora risulta:
$(dRU)/(dt)$=$R(dU)/(dt)$ e allora $(dRv)/(dt)$=$R(dv)/(dt)$
$(dRv)/(dt)$ dove $v$ è un campo vettoriale e $R$ un campo scalare, dipendenti dallo spazio e dal tempo
ragionando su la prima componente si ha:
$(dRU)/(dt)$ = $(\partial RU)/(\partial t) + (\partial RUU)/(\partial x) + (\partial RUV)/(\partial y) + (\partial RUW)/(\partial z)$
=$R(\partialU)/(\partial t)+ U(\partial R)/(\partial t)+U(\partial RU)/(\partial x) + RU(\partial U)/(\partial x)+ RV(\partial U)/(\partial y) +U(\partial RV)/(\partial y) + U(\partial RW)/(\partial z) +RW(\partial U)/(\partial z)$
=$U((\partial R)/(\partial t)+(\partial RU)/(\partial x)+(\partial RV)/(\partial y)+(\partial RW)/(\partial z))+R((\partialU)/(\partial t)+U(\partial U)/(\partial x)+V(\partial U)/(\partial y)+W(\partial U)/(\partial z))$
=$U((\partial R)/(\partial t) + nabla ^^ (Rv)) + R(dU)/(dt)$
[($nabla ^^(Rv$) sta a indicare la divergenza]
ora il primo membro è nullo(è una proprietà), allora risulta:
$(dRU)/(dt)$=$R(dU)/(dt)$ e allora $(dRv)/(dt)$=$R(dv)/(dt)$
"staff1":
$(dRU)/(dt)$ = $(\partial RU)/(\partial t) + (\partial RUU)/(\partial x) + (\partial RUV)/(\partial y) + (\partial RUW)/(\partial z)$ (*)
e allora vedi che non torna? Se fosse così, allora dovresti avere come derivate
${dRU}/{dt}=R{\partial U}/{\partial t}+U{\partial R}/{\partial t}+2RU{\partial U}/{\partial x}+U^2{\partial R}/{\partial x}+RU{\partial V}/{\partial y}+RV{\partial U}/{\partial y}+UV{\partial R}/{\partial y}+RU{\partial W}/{\partial z}+RW{\partial U}/{\partial z}+UW{\partial R}/{\partial z}=$
$=R({\partial U}/{\partial t}+2U{\partial U}/{\partial x}+U{\partial V}/{\partial y}+V{\partial U}/{\partial y}+U{\partial W}/{\partial z}+W{\partial U}/{\partial z})+U({\partial R}/{\partial t}+U{\partial R}/{\partial x}+V{\partial R}/{\partial y}+W{\partial R}/{\partial z})$
la versione corretta della prima riga è la seguente
$(dRU)/(dt) = (\partial RU)/(\partial t) + (\partial RU)/(\partial x)\ U + (\partial RU)/(\partial y)\ V+ (\partial RU)/(\partial z)\ W$
Secondo me, hai copiato male.
scusa ma non ho capito bene cosa mi stai dicendo! perche io sono d'accordo con te che quella che tu hai scritto è corretta; però con quella non torna la dimostrazione!
Quindi anche se avessi copiato male e fosse in effetti questa
$(\partialU)/(\partial t) + (\partial U)/(\partial x)U + (\partial U)/(\partial y)V+ (\partial U)/(\partial z)W$
come proseguo la dimostrazione???
tra l'altro sono sicuro che non lo copiata male perche ho chiamato un mio compagno di corso e anche lui a scritto la stessa cosa!
quarda piu che altro ho postato questa cosa per essere sicuro che quello che ha scritto il prof è sbagliato (o solo strano) e andarglielo a chiedere di persona!
Quindi anche se avessi copiato male e fosse in effetti questa
$(\partialU)/(\partial t) + (\partial U)/(\partial x)U + (\partial U)/(\partial y)V+ (\partial U)/(\partial z)W$
come proseguo la dimostrazione???
tra l'altro sono sicuro che non lo copiata male perche ho chiamato un mio compagno di corso e anche lui a scritto la stessa cosa!
quarda piu che altro ho postato questa cosa per essere sicuro che quello che ha scritto il prof è sbagliato (o solo strano) e andarglielo a chiedere di persona!
scusa ma non ho capito bene cosa mi stai dicendo! perche io sono d'accordo con te che quella che tu hai scritto è corretta; però con quella non torna la dimostrazione!
Quindi anche se avessi copiato male e fosse in effetti questa
$(\partialU)/(\partial t) + (\partial U)/(\partial x)U + (\partial U)/(\partial y)V+ (\partial U)/(\partial z)W$
come proseguo la dimostrazione???
tra l'altro sono sicuro che non lo copiata male perche ho chiamato un mio compagno di corso e anche lui a scritto la stessa cosa!
comunque quarda, piu che altro ho pubblicato questo post per essere sicuro che quello che ha scritto il prof è sbagliato (o solo strano) e andarglielo a chiedere di persona!
[xdom="gugo82"]Duplicato di un thread già esistente dello stesso OP.
Chiudo.[/xdom]
Quindi anche se avessi copiato male e fosse in effetti questa
$(\partialU)/(\partial t) + (\partial U)/(\partial x)U + (\partial U)/(\partial y)V+ (\partial U)/(\partial z)W$
come proseguo la dimostrazione???
tra l'altro sono sicuro che non lo copiata male perche ho chiamato un mio compagno di corso e anche lui a scritto la stessa cosa!
comunque quarda, piu che altro ho pubblicato questo post per essere sicuro che quello che ha scritto il prof è sbagliato (o solo strano) e andarglielo a chiedere di persona!
[xdom="gugo82"]Duplicato di un thread già esistente dello stesso OP.
Chiudo.[/xdom]
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