Derivata seconda teorema di Dini

[Aletzunny1]

ho cercato su internet ma non ho ben capito il procedimento che porta a trovare la derivata seconda della funzione implicita $f(x)$ nel caso bidimensionale partendo da $F(x,y)$. in particolare la formula

$-(F_y(F_(x x) + F_(xy)*f')-F_x(F_(yx) + F_(yy)*f'))/(F_y)^2$

non capisco completamente come viene trovata: infatti il mio testo riporta solo

$x->(x,f(x))->F_x(x,f(x))=h(x)$ da cui

$h'(x)=J(F_x,g(x))*J(g,x)=((F_(x x),F_(xy)))*((1),(f'))$ $=F_(x x) + F_(xy)*f'$

ora tuttavia non ho capito come ricavare $F_(yx) + F_(yy)*f'$...qualcuno potrebbe aiutarmi?
io ho pensato che possa essere cosi:

$y->(f(y),y)->F_y(f(y),y)=h(y)$

da cui $h'(x)=J(g(y),y)*J(g,y)=((F_(yx),F_(yy)))*((1),(f'))$ $=F_(yx) + F_(yy)*f'$

grazie mille a chi mi risolve questo dubbio

[gugo82]

Da $F(x,f(x))=0$ ricavi che la funzione al primo membro è costante, dunque (grazie alle ipotesi del Teorema ed alla derivazione della funzione composta) hai:

$("d")/("d"x)[F(x,f(x))] =0 => F_x(x,f(x)) + F_y(x,f(x))*f'(x) =0$,

e di qui ricavi $f'$; poi derivi di nuovo e trovi $f''$.

[Aletzunny1]

Grazie gugo, quel metodo lo avevo già visto e diciamo quasi capito!

Ma seguendo lo scherma usato nel testo del mio professore... potrebbe andare la mia soluzione? Oppure come sarebbe?

[gugo82]

Beh, ma scritto così non si capisce nulla.
Cos'è $J$? Cos’è $g$? Compaiono dal nulla...

[Aletzunny1]

$J$ indica la matrice Jacobiana(penso) e $g$ è la funzione che il libro riporta sopra $->$ nel passaggio da $x$ a $(x,f(x)$.

[gugo82]

Ah, vabbè, quello è il teorema di derivazione della funzione composta.
Praticamente sta usando un modo inutilmente complicato per calcolare la derivata di $- (F_x(x,f(x)))/(F_y(x,f(x)))$.

[Aletzunny1]

Ecco io non ho ben capito la seconda parte che manca e che porta alla formula completa... può essere corretto come l'ho scritto sopra?

Perché non mi viene in mente, usando lo stesso ragionamento, come trovarla.

Grazie

[dissonance]

"Aletzunny":quel metodo lo avevo già visto e diciamo quasi capito!

[gugo82]

Tanto per sintetizzare, chiamiamo $phi(x) := (x, f(x))$ la componente interna (vettoriale) di $F_x(x,f(x))$.
Il teorema di derivazione della funzione composta ti dice che:

$("d")/("d" x) [F_x(x,f(x))] = "J"_(F_x) (x,f(x)) * "J"_phi (x)$;

ora, la prima jacobiana è il vettore gradiente, i.e. $"J"_(F_x) = nabla F_x$, mentre la seconda è il vettore delle derivate prime, cioè $"J"_phi = phi^\prime$, dunque:

$("d")/("d" x) [F_x(x,f(x))] = nabla F_x (x,f(x)) * phi^\prime (x) =(F_(x x) (x,f(x)), F_(xy) (x,f(x))) * ((1), (f^\prime (x))) = F_(x x)(x,f(x)) + F_(xy)(x,f(x))\ f^\prime (x)$.

Similmente si ragiona per derivare $F_y(x,f(x))$.

Ricordando la regola di derivazione del rapporto e la formula trovata prima per $f^\prime (x)$ dovresti riuscire a fare ciò che vuoi.