Derivata seconda funzione implicita
Salve a tutti,
ho appena studiato il teorema del Dini, ho iniziato a fare dei semplici esercizi ma mi trovo in difficoltà. Il teorema afferma che: "Sia D un aperto di $RR^2$, sia $F in C^1(D)$, sia $(x_0, y_0) in D$, se le seguenti ipotesi sono verificate:
$F((x_0,y_0))=0$ e $F_y((x_0,y_0))!=0$, allora l'equazione $F(x,y)=0$ definisce implicitamente in un intorno di $(x_0,y_0)$ una funzione $y=f(x)$ tale che $F(x,f(x))=0$ ; vale che $f'(x) = (−F_x(x, f(x)))/(F_y(x, f(x)))$ . "
In un esercizio mi capita di dover calcolare la derivata seconda di $f(x)$, perchè devo vedere se f ammette in 0 massimo o minimo relativo (dopo aver verificato che la funzione F che mi viene data soddisfa le condizioni del teorema del Dini nel punto $(0,0)$. Per calcolare questa derivata seconda ho fatto così: $f''(x)=-(F_(x x)(0,0))/(F_y(0,0))$. Il risultato mi viene come dovrebbe, ma sugli appunti mi ritrovo quest'altra formula, più complicata:
$f''(x)=-((F_y)^2 F_(x x)-2F_xF_yF_(xy)+(F_x)^2F_(yy))/(F_y)^3 (x, f(x))$.
A questo punto ho due domande da fare:
1) La formula che ho utilizzato io è un caso particolare di quest'ultima che ho scritto ? In generale bisogna usare quest'ultima?
2) Quando ad esempio calcolo $F_(x x)$ , dato che devo fare la derivata in x, le y che stanno in $F_x$ devo considerarle come delle costanti, oppure come $f(x)$ e quindi fare la derivata anche per loro? Oppure queste due cose sono equivalenti?
Spero di essermi spiegata!
Grazie in anticipo!
Valentina
ho appena studiato il teorema del Dini, ho iniziato a fare dei semplici esercizi ma mi trovo in difficoltà. Il teorema afferma che: "Sia D un aperto di $RR^2$, sia $F in C^1(D)$, sia $(x_0, y_0) in D$, se le seguenti ipotesi sono verificate:
$F((x_0,y_0))=0$ e $F_y((x_0,y_0))!=0$, allora l'equazione $F(x,y)=0$ definisce implicitamente in un intorno di $(x_0,y_0)$ una funzione $y=f(x)$ tale che $F(x,f(x))=0$ ; vale che $f'(x) = (−F_x(x, f(x)))/(F_y(x, f(x)))$ . "
In un esercizio mi capita di dover calcolare la derivata seconda di $f(x)$, perchè devo vedere se f ammette in 0 massimo o minimo relativo (dopo aver verificato che la funzione F che mi viene data soddisfa le condizioni del teorema del Dini nel punto $(0,0)$. Per calcolare questa derivata seconda ho fatto così: $f''(x)=-(F_(x x)(0,0))/(F_y(0,0))$. Il risultato mi viene come dovrebbe, ma sugli appunti mi ritrovo quest'altra formula, più complicata:
$f''(x)=-((F_y)^2 F_(x x)-2F_xF_yF_(xy)+(F_x)^2F_(yy))/(F_y)^3 (x, f(x))$.
A questo punto ho due domande da fare:
1) La formula che ho utilizzato io è un caso particolare di quest'ultima che ho scritto ? In generale bisogna usare quest'ultima?
2) Quando ad esempio calcolo $F_(x x)$ , dato che devo fare la derivata in x, le y che stanno in $F_x$ devo considerarle come delle costanti, oppure come $f(x)$ e quindi fare la derivata anche per loro? Oppure queste due cose sono equivalenti?
Spero di essermi spiegata!
Grazie in anticipo!
Valentina
Risposte
"valentina92":
1) La formula che ho utilizzato io è un caso particolare di quest'ultima che ho scritto ? In generale bisogna usare quest'ultima?
Sì; la formula "semplice" vale nei punti dove \(f'(x) = 0\), cioè dove \(F_x(x, f(x)) = 0\).
2) Quando ad esempio calcolo $F_(x x)$ , dato che devo fare la derivata in x, le y che stanno in $F_x$ devo considerarle come delle costanti, oppure come $f(x)$ e quindi fare la derivata anche per loro? Oppure queste due cose sono equivalenti?
Spero di essermi spiegata!
Quelle sono semplici derivate parziali, quindi la \(y\) la consideri costante. Le due cose non sono equivalenti, perché nel primo caso (calcolo della derivata parziale) consideri la \(y\) costante, nel secondo stai facendo una derivata di funzione composta.
Ti ringrazio, sei stato molto chiaro: però c'è ancora un esercizio su cui ho un dubbio. Te lo espongo insieme al mio svolgimento.
"Dimostrare che l'equazione $F(x,y)=y+x^2sen(y)+xcos(y)+xy=0$ definisce implicitamente in un intorno di $(0,0)$ una funzione $y=f(x)$ tale che $F(x,f(x))=0$. Calcolare $lim_(x->0)(f(x)+x)/x^2$ ."
Nella prima parte si chiede verificare che l'equazione verifichi nel punto le ipotesi del teorema del Dini, e ok; poi devo calcolare il limite. Dato che $f(0)=y=0$ mi viene una forma indeterminata $0/0$ , allora visto che conosco la forma della derivata di $f(x)$ uso de l'Hopital: faccio le derivate parziali di F:
$F_x=(2sen(y))x+cos(y)+y$ , $F_y=1+x^2cos(y)-xsen(y)+x$
quindi diventa $lim_(x->0)(f'(x)+1)/2x = lim_(x->0)((-F_x(0,0))/(F_y(0,0))+1)*1/(2x)$
viene ancora $0/0$ , quindi applico di nuovo de L'Hopital, e trovo $lim_(x->0)(f''(x))/2$.
Alla luce di ciò, dato che è $f'(x)=-1$, devo usare la "formula lunga", e quindi, dato che ho
$F_y(0,0)=1$ , $F_x(0,0)=1$ , $F_(x x)(0,0)=0$, $F_(xy)(0,0)=1$ , $F_(yy)(0,0)=0$ (confermi?)
la derivata seconda di f(x) è:
$f''(x) = -(1^2*0-2*(1*1*1)+1^2*0)/1^3 = 2$
e quindi $lim_(x->0)(f''(x))/2=2/2=1$.
Sulle soluzioni del mio professore però c'è scritto così:
$f(0)=0$ e $f'(0) = -1$, quindi
\[
f''(0) = -(2 \sin(0)-\sin(0) f'(0)+f'(0))\cdot(1)-(-\sin(0)+1)(\cos(0)+0))/1= 2;
\]
Il limite richiesto é dunque 1.
Che ha fatto? E' arrivato allo stesso risultato in un altro modo? Vedo che c'è f'(x) e non so da dove l'abbia preso!
(chiedo ai moderatori gentilmente di mostrare la parte di testo che non si vede per favore, grazie
)
"Dimostrare che l'equazione $F(x,y)=y+x^2sen(y)+xcos(y)+xy=0$ definisce implicitamente in un intorno di $(0,0)$ una funzione $y=f(x)$ tale che $F(x,f(x))=0$. Calcolare $lim_(x->0)(f(x)+x)/x^2$ ."
Nella prima parte si chiede verificare che l'equazione verifichi nel punto le ipotesi del teorema del Dini, e ok; poi devo calcolare il limite. Dato che $f(0)=y=0$ mi viene una forma indeterminata $0/0$ , allora visto che conosco la forma della derivata di $f(x)$ uso de l'Hopital: faccio le derivate parziali di F:
$F_x=(2sen(y))x+cos(y)+y$ , $F_y=1+x^2cos(y)-xsen(y)+x$
quindi diventa $lim_(x->0)(f'(x)+1)/2x = lim_(x->0)((-F_x(0,0))/(F_y(0,0))+1)*1/(2x)$
viene ancora $0/0$ , quindi applico di nuovo de L'Hopital, e trovo $lim_(x->0)(f''(x))/2$.
la formula "semplice" vale nei punti dove f′(x)=0, cioè dove Fx(x,f(x))=0.
Alla luce di ciò, dato che è $f'(x)=-1$, devo usare la "formula lunga", e quindi, dato che ho
$F_y(0,0)=1$ , $F_x(0,0)=1$ , $F_(x x)(0,0)=0$, $F_(xy)(0,0)=1$ , $F_(yy)(0,0)=0$ (confermi?)
la derivata seconda di f(x) è:
$f''(x) = -(1^2*0-2*(1*1*1)+1^2*0)/1^3 = 2$
e quindi $lim_(x->0)(f''(x))/2=2/2=1$.
Sulle soluzioni del mio professore però c'è scritto così:
$f(0)=0$ e $f'(0) = -1$, quindi
\[
f''(0) = -(2 \sin(0)-\sin(0) f'(0)+f'(0))\cdot(1)-(-\sin(0)+1)(\cos(0)+0))/1= 2;
\]
Il limite richiesto é dunque 1.
Che ha fatto? E' arrivato allo stesso risultato in un altro modo? Vedo che c'è f'(x) e non so da dove l'abbia preso!
(chiedo ai moderatori gentilmente di mostrare la parte di testo che non si vede per favore, grazie
)
Ha semplicemente calcolato (come del resto hai fatto tu) \(f'(0) = -1\), \(f''(0) = 2\) e ha scritto
\[
f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{1}{2} f''(0) x^2 + o(x^2) = -x + x^2 + o(x^2),\qquad x\to 0,
\]
sostituendo poi questo sviluppo nel limite.
Tu hai usato due volte la regola de l'Hopital; è (fondamentalmente) la stessa cosa.
\[
f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{1}{2} f''(0) x^2 + o(x^2) = -x + x^2 + o(x^2),\qquad x\to 0,
\]
sostituendo poi questo sviluppo nel limite.
Tu hai usato due volte la regola de l'Hopital; è (fondamentalmente) la stessa cosa.
Ah, ha tirato fuori f''(x) dallo sviluppo in serie di Taylor. Grazie mille!
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