Derivata seconda e terza

[domenico.migl]

In un esercizio di esame chiede di trovare la corretta affermazione riferita alla seguente funzione:

$f(x)={(arctan x^2 se x<=0),(x^2+x^3 se x>0):}$

e l'affermazione corretta è: nel punto $x_0=0$ è possibile trovare la derivata seconda ma non la derivata terza di f.

C'è qualcuno che può illuminarmi su questo?? mi sono bloccato completamente...

[bosmer-votailprof]

Beh il quesito mi sembra piuttosto generico così fuori contesto... A mio avviso ci sono infinite affermazioni "corrette" riferite a quella funzione... Quindi se queste erano tutte le informazioni in tuo possesso a mio avviso era alquanto improbabile arrivare alla soluzione desiderata dal tuo professore, poteva anche chiederti di indovinare a che numero stava pensando che sarebbe quasi stato lo stesso...

In ogni caso l'affermazione è corretta nel senso che tu ti calcoli le derivate successive delle due espressioni che compongono la tua funzione e poi ne fai il limite (rispettivamente sinistro e destro) nell'origine, in particolare hai che le derivate della prima espressione sono :
$$
\frac{2x}{1+x^4} \to 0
\\
\frac{2-6x^4}{(1+x^4)^2}\to 2
\\
8\frac{3x^7-5x^3}{(1+x^4)^3} \to 0
$$

dove questi sono i limiti sinistri cioè con $x\to 0^-$

fai lo stesso per l'altra espressione calcolando questa volta i limiti destri cioè per $x\to 0^+$ ed ottieni che
$$
2x+3x^2 \to 0
\\
2+6x\to 2
\\
6 \to 6
$$

come vedi la derivata prima destra è uguale a quella sinistra e lo stesso vale per la derivata seconda, quindi in zero la funzione è derivabile due volte o detto come lo dice il tuo prof "è possibile trovare la derivata seconda" mentre nel caso della derivata terza le due derivate sono diverse quindi "non è possibile trovare la derivata terza"...

[domenico.migl]

Ok! Chiarissimo, ti ringrazio