Derivata seconda di x|x|
Data la funzione x|x|
$ f(x)=\{(x^2 if x>=0),(-x^2 if x<0):}$
La derivata prima di f(x) è
$ f'(x)=\{(2x if x>0),(-2x if x<0):}$ se invece x=0, allora $f'(x)=0$
Quindi $f'(x)=2|x|$
Ora se io faccio $f''(x) per x=0$ mi tornerebbe $f''(x)=\lim_{h \to \0}(2|0+h| - 2|0|)/h$ e tornerebbe 2. Ma a quanto pare non va bene, mi spiegate perché?
Non esiste il limite del rapporto incrementale?
$ f(x)=\{(x^2 if x>=0),(-x^2 if x<0):}$
La derivata prima di f(x) è
$ f'(x)=\{(2x if x>0),(-2x if x<0):}$ se invece x=0, allora $f'(x)=0$
Quindi $f'(x)=2|x|$
Ora se io faccio $f''(x) per x=0$ mi tornerebbe $f''(x)=\lim_{h \to \0}(2|0+h| - 2|0|)/h$ e tornerebbe 2. Ma a quanto pare non va bene, mi spiegate perché?
Non esiste il limite del rapporto incrementale?
Risposte
Non va perchè hai sbagliato a scrivere il rapporto incrementale.
Ho visto che hai corretto, ma non hai ancora capito l'errore:
Per capirlo, distingui due casi: $lim_(h->0^+)$ e $lim_(h->0^-)$
"tianigel":Non è vero
$lim_{h ->0}(2|h|) /h=2$.
Per capirlo, distingui due casi: $lim_(h->0^+)$ e $lim_(h->0^-)$
Nel primo caso torna 2, nel secondo torna -2, c'é una discontinuità in 0. Dunque il limite non sussiste dal momento che, mentre che per 2 e -2 o 3 e -3 potevo distinguere i casi in cui x<0, x>0 e dunque il limite tornava o positivo o negativo sia da destra che da sinistra, per x=0 non si può fare altrettanto dato che per x tendente a 0 da destra ha limite negativo, da sinistra positivo. E' così?
Però non capisco una cosa: se considero la funzione derivata$ f'(x)=\{(2x if x>0),(-2x if x<0),(0 if x=0):}$ è lo stesso che scrivere $f'(x)=2|x|$.
Quindi se volessi fare la derivata seconda della funzione derivata solo nell'ultimo caso in cui f'(x)=0, verrebbe f''(0)=0, perché non lo posso fare?
Quindi se volessi fare la derivata seconda della funzione derivata solo nell'ultimo caso in cui f'(x)=0, verrebbe f''(0)=0, perché non lo posso fare?
Non ho ben capito la domanda, ma provo a risponderti lo stesso.
Come dici giustamente tu si ha $f'(x)=2|x|$.
Questa funzione è continua in ogni punto, ma non è derivabile in tutti i punti.
C'è un punto, infatti ($x_0=0$), in cui non esiste il limite del rapporto incrementale (l'abbiamo visto nei post precedenti).
Invece negli altri punti il limite esiste.
In particolare, possiamo dire che $f''(x)=2$ se $x>0$ e $f''(x)= -2$ se $x<0$.
Come dici giustamente tu si ha $f'(x)=2|x|$.
Questa funzione è continua in ogni punto, ma non è derivabile in tutti i punti.
C'è un punto, infatti ($x_0=0$), in cui non esiste il limite del rapporto incrementale (l'abbiamo visto nei post precedenti).
Invece negli altri punti il limite esiste.
In particolare, possiamo dire che $f''(x)=2$ se $x>0$ e $f''(x)= -2$ se $x<0$.
Mica starai derivando $f'(x) = 0$? La tua $f'(x)$ non vale $0$ ovunque!
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