Derivata seconda di una funzione x(t)
Scusate ma non ho capito un cosa.
Data una funzione del tempo, es. x(t), perchè quando si scrive la derivata seconda si scrive d2x/dt2 e non d2x/d2t?
Data una funzione del tempo, es. x(t), perchè quando si scrive la derivata seconda si scrive d2x/dt2 e non d2x/d2t?
Risposte
Sinceramente? È una domanda curiosa, non ci avevo mai pensato. Così su due piedi penso sia una notazione comoda per i fisici e più precisamente per tenere sotto controllo le unità di misura delle quantità coinvolte.
Supponi che $x(t)$ sia la legge oraria di un corpo. Fissato t, essa restituisce dimensionalmente una lunghezza $[x(t)]=[L]$.
La sua derivata rispetto al tempo restituisce la velocità del corpo in ogni istante
$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}$
Sebbene non sia formalmente una frazione, per comodità possiamo pensarla come tale e attribuire al numeratore la dimensione di una lunghezza e al denominatore la dimensione di un tempo, sicché $[v]=[L][T]^{-1}$.
Nel momento in cui esprimi l'accelerazione come derivata seconda della legge oraria, ossia scrivi
$a(t)=\frac{d^2 x(t)}{dt^2}$
e attribuisci le dimensioni al "numeratore" e al "denominatore" ti accorgi che il primo ha la dimensione di una lunghezza, il secondo di un tempo al quadrato
$[a] =[L] [T]^{-2}$
Sebbene sembri poca roba, questo tipo di ragionamento mi ha aiutato spesso negli esercizi di fisica.
Un'altra motivazione potrebbe risiedere nel calcolo formale degli operatori. Con calcolo formale intendo dire il calcolo di pura forma, in cui ai simboli coinvolti non viene attribuito alcun significato intrinseco.
Senza entrare troppo nel tecnico, puoi vedere l'operatore derivata seconda $\frac{d^2 }{dt^2 }$ come il quadrato formale di $\frac{d}{dt}$.
Spero di non averti confuso troppo.
Supponi che $x(t)$ sia la legge oraria di un corpo. Fissato t, essa restituisce dimensionalmente una lunghezza $[x(t)]=[L]$.
La sua derivata rispetto al tempo restituisce la velocità del corpo in ogni istante
$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}$
Sebbene non sia formalmente una frazione, per comodità possiamo pensarla come tale e attribuire al numeratore la dimensione di una lunghezza e al denominatore la dimensione di un tempo, sicché $[v]=[L][T]^{-1}$.
Nel momento in cui esprimi l'accelerazione come derivata seconda della legge oraria, ossia scrivi
$a(t)=\frac{d^2 x(t)}{dt^2}$
e attribuisci le dimensioni al "numeratore" e al "denominatore" ti accorgi che il primo ha la dimensione di una lunghezza, il secondo di un tempo al quadrato
$[a] =[L] [T]^{-2}$
Sebbene sembri poca roba, questo tipo di ragionamento mi ha aiutato spesso negli esercizi di fisica.
Un'altra motivazione potrebbe risiedere nel calcolo formale degli operatori. Con calcolo formale intendo dire il calcolo di pura forma, in cui ai simboli coinvolti non viene attribuito alcun significato intrinseco.
Senza entrare troppo nel tecnico, puoi vedere l'operatore derivata seconda $\frac{d^2 }{dt^2 }$ come il quadrato formale di $\frac{d}{dt}$.
Spero di non averti confuso troppo.
Perché $dt^2$ non è uguale a $d^2t$...
Quello che dice gugo82 è chiaramente vero. (A sproposito buon anno, gugo!). Tuttavia penso si debba contestualizzare meglio il significato di $dt, d^2t,dt^2$, non sei d'accordo?
"Mathita":
Nel momento in cui [...] scrivi
$a(t)=\frac{d^2 x(t)}{dt^2}$
e attribuisci le dimensioni al "numeratore" e al "denominatore"
dx(t), inteso come differenza tra due lunghezze, è sicuramente una lunghezza.
Ma perchè $d^2 x(t)$ è anch'essa una lunghezza?
Risposta molto "fisica" : perché il quadrato è sulla d e non su x.
Risposta semiseria. Dimensionalmente la derivata rispetto al tempo di $x(t)$
$\frac{dx}{dt}(t)(=v(t)) $
è una lunghezza su tempo $[L][T]^{-1}$ (è una velocità).
Nel momento in cui costruisci il rapporto incrementale della velocità centrato in un tempo $t_0$, hai
$\frac{\frac{dx} {dt}(t)-\frac{dx} {dt}(t_0)}{t-t_0}$
Dimensionalmente al numeratore hai una differenza di velocità, per cui $[L][T]^{-1}$. Al denominatore hai un tempo, pertanto la dimensione del rapporto è $[L][T]^{-2}$.
Passando al limite per t che tende a t_0, il rapporto incrementale precedente tende alla derivata rispetto al tempo della velocità, o meglio alla derivata seconda rispetto al tempo della legge oraria. Dimensionalmente è pari $[L][T]^{-2}$.
Un simbolo comodo per tenere traccia delle dimensioni è $\frac{d^2 x}{dt^2}$.
[Edit]: Per comodità (o regola mnemonica, chiamala come vuoi), attribuiamo al "numeratore" la dimensione di una lunghezza e al "denominatore" la dimensione di un tempo al quadrato. Sottolineo tuttavia che nel contesto dell'analisi matematica di base, il simbolo di derivata non è un rapporto: lo interpretiamo come tale perché è comodo farlo.
Nel contesto della geometria differenziale, cambiamo le carte in tavola, però non mi sembra la sede adatta per parlarne.
Nota importante: vorrei che sia chiaro per l'op che la mia non vuole essere una spiegazione troppo rigorosa. Dopotutto ci stiamo chiedendo perché è stata scelta una notazione piuttosto che un'altra.
Le (buone) notazioni devono essere innanzitutto comode, e in un certo senso descrittive.
In alcuni contesti, ad esempio, si preferisce la notazione $x''(t)$, o ancora $\ddot{x}(t)$ per indicare la derivata seconda perché più facili da scrivere.
Risposta semiseria. Dimensionalmente la derivata rispetto al tempo di $x(t)$
$\frac{dx}{dt}(t)(=v(t)) $
è una lunghezza su tempo $[L][T]^{-1}$ (è una velocità).
Nel momento in cui costruisci il rapporto incrementale della velocità centrato in un tempo $t_0$, hai
$\frac{\frac{dx} {dt}(t)-\frac{dx} {dt}(t_0)}{t-t_0}$
Dimensionalmente al numeratore hai una differenza di velocità, per cui $[L][T]^{-1}$. Al denominatore hai un tempo, pertanto la dimensione del rapporto è $[L][T]^{-2}$.
Passando al limite per t che tende a t_0, il rapporto incrementale precedente tende alla derivata rispetto al tempo della velocità, o meglio alla derivata seconda rispetto al tempo della legge oraria. Dimensionalmente è pari $[L][T]^{-2}$.
Un simbolo comodo per tenere traccia delle dimensioni è $\frac{d^2 x}{dt^2}$.
[Edit]: Per comodità (o regola mnemonica, chiamala come vuoi), attribuiamo al "numeratore" la dimensione di una lunghezza e al "denominatore" la dimensione di un tempo al quadrato. Sottolineo tuttavia che nel contesto dell'analisi matematica di base, il simbolo di derivata non è un rapporto: lo interpretiamo come tale perché è comodo farlo.
Nel contesto della geometria differenziale, cambiamo le carte in tavola, però non mi sembra la sede adatta per parlarne.
Nota importante: vorrei che sia chiaro per l'op che la mia non vuole essere una spiegazione troppo rigorosa. Dopotutto ci stiamo chiedendo perché è stata scelta una notazione piuttosto che un'altra.
Le (buone) notazioni devono essere innanzitutto comode, e in un certo senso descrittive.
In alcuni contesti, ad esempio, si preferisce la notazione $x''(t)$, o ancora $\ddot{x}(t)$ per indicare la derivata seconda perché più facili da scrivere.
"Mathita":
Risposta molto "fisica" : perché il quadrato è sulla d e non su x.
Risposta semiseria. Dimensionalmente la derivata rispetto al tempo di $x(t)$
$\frac{dx}{dt}(t)(=v(t)) $
è una lunghezza su tempo $[L][T]^{-1}$ (è una velocità).
Nel momento in cui costruisci il rapporto incrementale della velocità centrato in un tempo $t_0$, hai
$\frac{\frac{dx} {dt}(t)-\frac{dx} {dt}(t_0)}$
Dimensionalmente al numeratore hai una differenza di velocità,
Si potrebbe anche dire: una differenza di differenze tra lunghezze è una lunghezza.
O no?
Se ti aiuta, potresti pensarla così, ma non è concettualmente corretto.
Detto alla fisica maniera, puoi pensare $\frac{d^2}{dt^2}x(t)$ come rapporto tra la differenza infinitesima della differenza infinitesima di $x(t)$ (qualunque cosa voglia dire) e $dt^2$ (qualunque cosa voglia dire).
Tuttavia non andrei davanti a un esaminatore a dirgli questa frase, soprattutto se l'esaminatore è un matematico sensibile ai formalismi.
Ho l'impressione di averti confuso. Mi scuso, non era mia intenzione.
Detto alla fisica maniera, puoi pensare $\frac{d^2}{dt^2}x(t)$ come rapporto tra la differenza infinitesima della differenza infinitesima di $x(t)$ (qualunque cosa voglia dire) e $dt^2$ (qualunque cosa voglia dire).
Tuttavia non andrei davanti a un esaminatore a dirgli questa frase, soprattutto se l'esaminatore è un matematico sensibile ai formalismi.
Ho l'impressione di averti confuso. Mi scuso, non era mia intenzione.
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