Derivata seconda di una distribuzione

[pacost]

Salve ho un problema con un esercizio sulle distribuzioni

"Se $h''_+$ denota la derivata seconda nel senso delle distribuzioni di $h_+$ e $varphi$ è una funzione test , la distribuzione
$varphi rarr $ $$" è uguale a $delta_(0) - delta' _(pi/2)$( è il risultato )

Con $h_+ = H(t)h(t))$

dove $h={(sin(t),se |t|<= pi/2),(0,se |t|>pi/2):}$ e $H(t)$ è la funzione di Heaviside.

Ho pensato che per svolgere questo esercizio dovrei risolvere questi due integrali cioè :
$\int_{0}^{pi/2} sin(t)*varphi(t) dt $ + $\int_{0}^{pi/2} sin(t)*varphi''(t) dt$ (ho considerato sia la regola di derivazione delle distribuzioni e sia che la funzione di Heaviside annulla la funziona quando è minore di 0)

Inoltre $\int_{0}^{pi/2} sin(t)*varphi''(t) dt$ $=[sen(t)*varphi'(t)]_0^(pi/2)$ $-[cos(t)*varphi(t)]_0^(pi/2)$$-\int_{0}^{pi/2} sin(t)*varphi(t) dt $
Quindi sostituendo avrò che :
$\int_{0}^{pi/2} sin(t)*varphi(t) dt $ + $\int_{0}^{pi/2} sin(t)*varphi''(t) dt$ $=[sen(t)*varphi'(t)]_0^(pi/2)$ $-[cos(t)*varphi(t)]_0^(pi/2)$

Quindi il risultato viene $ varphi'(pi/2) + varphi(0) $ ma il mio professore ha scritto come risultato dell'esercizio
$delta_(0) - delta' _(pi/2)$


Qualcuno può aiutarmi a svolgere questo esercizio grazie mille

[nasmil]

Ciao, anche io devo fare l'esame con il prof che dici tu.
Ti consiglio di fare un grafico della funzione e derivarla ogni volta graficamente così ottieni i risultati.
Tra l'altro leggendo quello che hai scritto e che hai trovato, hai ottenuto il risultato, perché $ phi'(pi/2) = d(pi/2) e phi(0)= d(0) $
Forse hai dimenticato qualche segno, ma comunque non c'è bisogno di fare tutti questi integrali per vedere come si deriva..

[dissonance]

Il risultato è lo stesso:
\[
\langle \delta_0 - \delta'_{\pi/2}, \phi\rangle= \phi(0)+\langle \delta_{\pi/2}, \phi'\rangle = \phi(0)+\phi'(\pi/2).\]

P.S: Sono d'accordo sul suggerimento di derivare graficamente.