Derivata seconda dell'inversa
Sia $f(x)=x^5+e^x$.
Calcolare le derivate $f^(-1)'(x)$ e $f^(-1)''(x)$.
Dovrebbe essere $f^(-1)'(y)=1/(f'(f^(-1)(y)))=1/(5*(f^(-1)(y))^4+e^(f^(-1)(y))$. Giusto?
Come si calcola $f^(-1)''(x)$?
Calcolare le derivate $f^(-1)'(x)$ e $f^(-1)''(x)$.
Dovrebbe essere $f^(-1)'(y)=1/(f'(f^(-1)(y)))=1/(5*(f^(-1)(y))^4+e^(f^(-1)(y))$. Giusto?
Come si calcola $f^(-1)''(x)$?
Risposte
Chain rule is da only way. 
Insomma, basta applicare il teorema di derivazione delle funzioni composte, partendo da $(f^(-1))'(y)=1/(f'(f^(-1)(y)))$.
Insomma, basta applicare il teorema di derivazione delle funzioni composte, partendo da $(f^(-1))'(y)=1/(f'(f^(-1)(y)))$.
Praticamente è quello che ho fatto per la derivata prima (è giusta?), ma per la derivata seconda come faccio?
"Gugo82":When I read "chain rule" I feel the disgusting flavor of "calculus".
Chain rule is da only way.
Having said this...
Per quanto riguarda i calcoli per ottenere la derivata seconda dell'inversa,a strada ahimé è quella indicata da Gugo82. Mi ricordo che la prima volta che li ho fatti li ho sbagliati $n$ volte. Con $n$ grosso.
@thedarkhero: devi fare la derivata a partire dalla formuletta postata da Gugo82. Usando, come dice lui, il teorema di derivazione delle funzioni composte, visto che quella formula ti da la derivata prima dell'inversa come funzione composta...
Vediamo se ho capito...
$f^(-1)''(y)=1/(f'(f^(-1)'(y)))$ giusto?
$f^(-1)''(y)=1/(f'(f^(-1)'(y)))$ giusto?
"Fioravante Patrone":
[quote="Gugo82"]Chain rule is da only way.
When I read "chain rule" I feel the disgusting flavor of "calculus".
[/quote]Purtroppo in tutti i libri di "calculus" (o Analisi di base) in inglese che ho sfogliato (e nelle dispense di Fisica Matematica in inglese del mio prof.) la chiamano così... Non che mi piaccia, ma mi adatto.
Per quanto riguarda il "calculus": temo che l'insegnamento dell'Analisi si stia man mano riducendo proprio a quello, soprattutto nei corsi di ingegneria.
Mi date conferma se la formula della derivata seconda è corretta?
@Gugo82: ho fatto solo un esempio con questa funzione...i calcoli li posso anche lasciare perdere. Volevo solo capire il procedimento. Comunque non faccio ingegneria eh!
@Gugo82: ho fatto solo un esempio con questa funzione...i calcoli li posso anche lasciare perdere. Volevo solo capire il procedimento. Comunque non faccio ingegneria eh!
Il commento (pessimista) era del tutto generale, non si riferiva al tuo caso.
Ad ogni modo:
Non mi pare sia quella giusta...
Ad ogni modo:
"thedarkhero":
Vediamo se ho capito...
$f^(-1)''(y)=1/(f'(f^(-1)'(y)))$ giusto?
Non mi pare sia quella giusta...
$f^(-1)''(y)=1/(f''(f^(-1)'(y)))$
Ora è corretta?
Ora è corretta?
"Gugo82":
[quote="Fioravante Patrone"][quote="Gugo82"]Chain rule is da only way.
When I read "chain rule" I feel the disgusting flavor of "calculus".
[/quote]Purtroppo in tutti i libri di "calculus" (o Analisi di base) in inglese che ho sfogliato (e nelle dispense di Fisica Matematica in inglese del mio prof.) la chiamano così...
[/quote]Appunto.
Si stava discutendo della derivata...qualcuno mi dice se ho modificato la formula correttamente?
"thedarkhero":
Vediamo se ho capito...
$f^(-1)''(y)=1/(f'(f^(-1)'(y)))$ giusto?
Ma come fa ad essere giusto? Dai!
Prendi questa funzione: $y \mapsto 1/(f'(f^(-1)(y)))$ e derivala.
Tutto qui.
Basta fare la derivata di $f^(-1)'(x)$?
No, devi fare la derivata di una funzione composta. Quella che citi tu è solo la funzione "esterna".
Appunto, la funzione composta di cui devo fare la derivata è $f^(-1)'(x)$? Altrimenti qual'è?
$y \mapsto 1/(f'(f^(-1)(y)))$
La sua derivata è:
$- \frac{1}{(f'(f^(-1)(y)))^2} \cdot f''(f^(-1)(y)) \cdot \frac{1}{f'(f^(-1)(y))}$
Ho fatto la derivata del reciproco (primo fattore qui sopra) e poi la derivata del denominatore che richiede appunto di derivare una funzione composta (e ottengo gli altri due fattori)
La sua derivata è:
$- \frac{1}{(f'(f^(-1)(y)))^2} \cdot f''(f^(-1)(y)) \cdot \frac{1}{f'(f^(-1)(y))}$
Ho fatto la derivata del reciproco (primo fattore qui sopra) e poi la derivata del denominatore che richiede appunto di derivare una funzione composta (e ottengo gli altri due fattori)
A me viene simile ma il terzo fattore mi viene il reciproco di quello che hai scritto tu...
L'ultimo fattore è la derivata della "funzione interna" che è $y \mapsto f^(-1)(y)$
E quindi la sua derivata è quella che è già stata calcolata, ovvero:
$1/(f'(f^(-1)(y)))$
Comunque, prova a fare una verifica su un esempio.
E quindi la sua derivata è quella che è già stata calcolata, ovvero:
$1/(f'(f^(-1)(y)))$
Comunque, prova a fare una verifica su un esempio.
Giusto! Grazie mille!
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