Derivata seconda della composizione in un punto
Ciao ragazzi,
siano:
$u:RR^2->RR,(x,y)->u(x,y)$,$ u in CC_(RR)^2$,
$phi:(0,+oo)times(0,2pi)->RR^2,(rho,theta)->(rhocos(theta),rhosin(theta))$,$ phi in CC_(RR^2)^2$:
calcolare : $(u text{ ∘ } phi)''$.
Per prima cosa faccio: $(u text{ ∘ } phi)''= [(u text{ ∘ } phi)']'=[u'(phi) text{ ∘ } phi']'$.
Chiamo $u'(phi)=g -> [g text{ ∘ } phi']'=g'(phi') text{ ∘ } phi''$.
Sostituendo: $(u text{ ∘ } phi)''=(u'(phi))'(phi') text{ ∘ } phi''$.
Mi rendo conto che la formulazione sembra strana,tuttavia ho semplicemente applicato il teorema della derivata della funzione composta (nella versione a più variabili). Ora, mi resterebbe solo passare alla relazione matriciale, ma son qui i problemi.
Innanzi tutto non mi è chiaro quale sia la matrice associata a $(u'(phi))'(phi')$, probabilmente l'Hessiana $H_u(phi')$,
non immagino nemmeno quale sia la matrice associata a $phi$, non credo sia l'Hessiana $H_(phi)$ dal momento che la funzione $phi$ non è scalare.
Grazie in anticipo
siano:
$u:RR^2->RR,(x,y)->u(x,y)$,$ u in CC_(RR)^2$,
$phi:(0,+oo)times(0,2pi)->RR^2,(rho,theta)->(rhocos(theta),rhosin(theta))$,$ phi in CC_(RR^2)^2$:
calcolare : $(u text{ ∘ } phi)''$.
Per prima cosa faccio: $(u text{ ∘ } phi)''= [(u text{ ∘ } phi)']'=[u'(phi) text{ ∘ } phi']'$.
Chiamo $u'(phi)=g -> [g text{ ∘ } phi']'=g'(phi') text{ ∘ } phi''$.
Sostituendo: $(u text{ ∘ } phi)''=(u'(phi))'(phi') text{ ∘ } phi''$.
Mi rendo conto che la formulazione sembra strana,tuttavia ho semplicemente applicato il teorema della derivata della funzione composta (nella versione a più variabili). Ora, mi resterebbe solo passare alla relazione matriciale, ma son qui i problemi.
Innanzi tutto non mi è chiaro quale sia la matrice associata a $(u'(phi))'(phi')$, probabilmente l'Hessiana $H_u(phi')$,
non immagino nemmeno quale sia la matrice associata a $phi$, non credo sia l'Hessiana $H_(phi)$ dal momento che la funzione $phi$ non è scalare.
Grazie in anticipo
Risposte
Ma che vuol dire l'apice quando ti trovi a derivare funzioni di più variabili?
L'apice indica la derivata in un punto come trasformazione lineare, ad esempio per $u$:
La "matrice" associata a $u'(x,y)$ è il gradiente di $u$: $grad u =((partial u)/(partial x),(partial u)/(partial y))$, quindi:
$u'(x,y):RR^2->RR,(h_1,h_2)->((partialu)/(partial x))(x,y)*h_1 + ((partialu)/(partial y))(x,y)*h_2 $
In tal caso, poichè $u$ è una funzione scalare $u'(x,y)$ viene chiamato anche "differenziale in un punto di $u$" e viene indicato con: $df(x,y)$.
Posso anche scrivere: $df(x,y):RR^2->RR,(h_1,h_1)->$
Ti torna ?
La "matrice" associata a $u'(x,y)$ è il gradiente di $u$: $grad u =((partial u)/(partial x),(partial u)/(partial y))$, quindi:
$u'(x,y):RR^2->RR,(h_1,h_2)->((partialu)/(partial x))(x,y)*h_1 + ((partialu)/(partial y))(x,y)*h_2 $
In tal caso, poichè $u$ è una funzione scalare $u'(x,y)$ viene chiamato anche "differenziale in un punto di $u$" e viene indicato con: $df(x,y)$.
Posso anche scrivere: $df(x,y):RR^2->RR,(h_1,h_1)->
Ti torna ?
Beh, è una notazione quanto meno inusuale... Anche la notazione \(\mathbb{C}_{\mathbb{R}^2}^2\) è astrusa: di solito si usa \(C^2(\Omega )\) per funzioni scalari definite in \(\Omega\), oppure \(C^2(\Omega ;\mathbb{R}^2)\) per funzioni vettoriali definite in \(\Omega\) a valori in \(\mathbb{R}^2\).
Ad ogni modo, quindi, ti interessa stabilire chi è il differenziale secondo della funzione composta \(u\circ \phi\), con \(u=u(x,y)\) e \(\phi=(\phi^1(r,\theta), \phi^2 (r,\theta))\).
Il differenziale secondo è la forma bilineare cui è associata (nelle basi canoniche) la matrice hessiana di \(u\circ \phi\); dunque basta calcolare le derivate seconde.
Si ha:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial r} u\circ \phi &= u_x\ \phi_r^1 + u_y\ \phi_r^2 \\
\frac{\partial}{\partial \theta} u\circ \phi &= u_x\ \phi_\theta^1 + u_y\ \phi_\theta^2
\end{split}
\]
e perciò:
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2}{\partial r^2} u\circ \phi &= \frac{\partial}{\partial r} [u_x\ \phi_r^1 + u_y\ \phi_r^2] \\
&= u_{xx}\ (\phi_r^1)^2 + u_{xy}\ \phi_r^1\ \phi_r^2 + u_x\ \phi_{rr}^1 \\
&\phantom{=} + u_{xy}\ \phi_r^1\ \phi_r^2 + u_{yy}\ \phi_{rr}^2 + u_y\ \phi_{rr}^2 \\
\frac{\partial}{\partial \theta \partial r} u\circ \phi &= \frac{\partial}{\partial r} [u_x\ \phi_\theta^1 + u_y\ \phi_\theta^2 ] \\
&= u_{xx}\ \phi_r^1\ \phi_\theta^1 + u_{xy}\ \phi_r^2\ \phi_\theta^1 + u_x\ \phi_{r\theta}^1 \\
&\phantom{=}+ u_{xy}\ \phi_r^1\ \phi_\theta^2 + u_{yy}\ \phi_r^2\ \phi_\theta^2 + u_y\ \phi_{r\theta}^2
\end{split}
\]
etc... Da qui, giocando col prodotto matrice vettore, tiri fuori l'espressione esplicita della matrice hessiana come somma di due matrici.
In questo modo puoi verificare se l'espressione che hai trovato è quella giusta o no.
Ad ogni modo, quindi, ti interessa stabilire chi è il differenziale secondo della funzione composta \(u\circ \phi\), con \(u=u(x,y)\) e \(\phi=(\phi^1(r,\theta), \phi^2 (r,\theta))\).
Il differenziale secondo è la forma bilineare cui è associata (nelle basi canoniche) la matrice hessiana di \(u\circ \phi\); dunque basta calcolare le derivate seconde.
Si ha:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial r} u\circ \phi &= u_x\ \phi_r^1 + u_y\ \phi_r^2 \\
\frac{\partial}{\partial \theta} u\circ \phi &= u_x\ \phi_\theta^1 + u_y\ \phi_\theta^2
\end{split}
\]
e perciò:
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2}{\partial r^2} u\circ \phi &= \frac{\partial}{\partial r} [u_x\ \phi_r^1 + u_y\ \phi_r^2] \\
&= u_{xx}\ (\phi_r^1)^2 + u_{xy}\ \phi_r^1\ \phi_r^2 + u_x\ \phi_{rr}^1 \\
&\phantom{=} + u_{xy}\ \phi_r^1\ \phi_r^2 + u_{yy}\ \phi_{rr}^2 + u_y\ \phi_{rr}^2 \\
\frac{\partial}{\partial \theta \partial r} u\circ \phi &= \frac{\partial}{\partial r} [u_x\ \phi_\theta^1 + u_y\ \phi_\theta^2 ] \\
&= u_{xx}\ \phi_r^1\ \phi_\theta^1 + u_{xy}\ \phi_r^2\ \phi_\theta^1 + u_x\ \phi_{r\theta}^1 \\
&\phantom{=}+ u_{xy}\ \phi_r^1\ \phi_\theta^2 + u_{yy}\ \phi_r^2\ \phi_\theta^2 + u_y\ \phi_{r\theta}^2
\end{split}
\]
etc... Da qui, giocando col prodotto matrice vettore, tiri fuori l'espressione esplicita della matrice hessiana come somma di due matrici.
In questo modo puoi verificare se l'espressione che hai trovato è quella giusta o no.
Scusa per la notazione ma d'altronde è quella che mi hanno insegnato.
Avevo pensato di sfruttare una relazione del tipo:
$H(u∘phi)=H(u)(phi(rho,theta))*H(phi)$
Il problema è che $H(phi)$ è un tensore di rango $2$.... (Non esiste quindi una relazione simile tra le Hessiane?)
Inoltre, non capisco bene come hai svolto questa derivata parziale:
$partial/(partialr)[u_xphi_r^1+u_yphi_r^2]$
Grazie
Avevo pensato di sfruttare una relazione del tipo:
$H(u∘phi)=H(u)(phi(rho,theta))*H(phi)$
Il problema è che $H(phi)$ è un tensore di rango $2$.... (Non esiste quindi una relazione simile tra le Hessiane?)
Inoltre, non capisco bene come hai svolto questa derivata parziale:
$partial/(partialr)[u_xphi_r^1+u_yphi_r^2]$
Grazie
"lordb":
non capisco bene come hai svolto questa derivata parziale:
\[
\frac{\partial}{\partial r}[u_x\ \phi_r^1+u_y \phi_r^2]
\]
Beh, usando il teorema di derivazione delle funzioni composte, tenendo presente che \(u_x\) ed \(u_y\) sono in realtà \(u_x\circ \phi\) ed \(u_y\circ \phi\) (ma l'argomento l'avevo sottointeso, perché altrimenti ci rimettevo chilometri di spazio).
Ok perfetto, grazie !
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