Derivata quinta di una funzione

[cecca1]

Ciao a tutti.
vorrei chiedervi una cosa.
per calcolare la derivata quinta di questa funzione: $h(x)=3x^5-2x^2+cos(arctan(x^3/(1+2x^2))$ e verificarne l'esistenza nel punto x=0, esiste un metodo risolutivo che non implichi calcolare ogni derivata?
calcolandola con i programmi diventa una cosa impensabile e osservando il risultato si vede che la parte trigonometrica sembra essere sempre nulla, perciò solo i primi due termini caratterizzano la funzione.
Sapete dirmi se c'è un modo logico per risolvere questo problema?
Grazie.

[laura1232]

puoi ricordare che $cos(arctan x)=1/{sqrt{1+x^2}}$

[cecca1]

help!

[cecca1]

Qualcuno che possa risolvere il mio dubbio?

[giuscri]

"cecca":$h(x)=3x^5-2x^2+cos(arctan(x^3/(1+2x^2))$ e verificarne l'esistenza nel punto x=0, esiste un metodo risolutivo che non implichi calcolare ogni derivata?

Mmm. Guarda, prendi con le pinze quello che sto scrivendo, i.e. sii critica:

ti ricordi com'è definito il polinomio di Taylor? I coefficienti delle potenze di $x$ sono i valori delle derivate della funzione, in ordine crescente, ciascuna valutata nel centro della bolla.

Tipicamente si ha:

$f(x) = f(x_0) + f^\(1\) (x_0) * x + f^\(2\) (x_0) * x^2 + ... + f^\(k\) (x_0) * x^k$

dove $f^\(k\)(x_0)$ è la derivata k-esima di f, valutata in $x_0$.

Questo significa che se ti chiedo quanto vale in $a$ la derivata ventiquattresima di una $g(x)$ qualsiasi, è probabile che tu te la possa cavare meglio con il polinomio di Taylor, piuttosto che con le regole di derivazione (a meno che tu non abbia nessun problema con il tempo e con la pazienza).
Questa è la prima cosa che mi viene da fare quando l'ordine della derivata fa paura, da calcolare.

Detto questo, la derivata della tua funzione è la somma delle derivate di tre termini: il primo, $3x^5$, l'altro, $-2x^2$, e poi il $cos(arctan(t))$.

Quanto detto sopra può servirti per sviluppare il $cos(arctan(t))$ fino al quinto ordine per poi estrare la derivata quinta valutata in $x_0 = 0$. Gli altri due termini vanno derivati come al solito (e diventano rapidamente costanti).

Facci sapere.

[giuscri]

"laura123":puoi ricordare che $cos(arctan x)=1/{sqrt{1+x^2}}$

OT/Questa non la sapevo! Grazie mille Sai come si può verificare questo risultato?/OT

[laura1232]

"giuscri": Sai come si può verificare questo risultato?

Semplicissimo, da $cos y=+- 1/{sqrt{tan^2 y+1}}$ ricordando che $-pi/2 $cos(arctan x)=+ 1/{sqrt{tan^2 (arctan x)+1}}=1/{sqrt{x^2+1}}$

[cecca1]

sviluppando il polinomio di taylor fino al 5°grado della funzione composta, si sa che la derivata quinta del coseno in x=0 è nulla.
Dovendo calcolare la derivata quinta della funzione che vi ho postato, la derivata quinta della funzione composta trigonometrica sarebbe nulla in tale ordine di conseguenza rimarrebbe solo il primo termine.
Giusto?

[giuscri]

"cecca":sviluppando il polinomio di taylor fino al 5°grado della funzione composta, si sa che la derivata quinta del coseno in x=0 è nulla.
Dovendo calcolare la derivata quinta della funzione che vi ho postato, la derivata quinta della funzione composta trigonometrica sarebbe nulla in tale ordine di conseguenza rimarrebbe solo il primo termine.
Giusto?

Sì. Guarda, ho controllato su Wolfram e il valore della derivata della tua funzione di partenza, valutata in $0$, dovrebbe essere di $360$, cioé $d^5 / dx^5 (3x^5)$.