Derivata prima funzione goniometrica fratta
Buonasera a tutti
Stavo eseguendo uno studio di funzione e sto avendo problemi con la derivata prima.
La formula di derivazione per le funzioni fratte (credo) la applico bene, ciò che non riesco a fare è risalire ad una espressione della derivata più semplice e facilmente studiabile per il segno.
La funzione in questione è
$f(x)= cosx/(sqrt(1-senx))$
La derivata "grezza" che trovo svolgendo i calcoli è questa, e spero di non sbagliarmi
$((-senx*sqrt(1-senx))-(cosx*(- cosx)/(2(sqrt(1-senx)))))/(1-senx)$
La difficoltà che sto avendo è quella di ricondurmi ad una versione più "raffinata" di questo sgorbio per potermi calcolare crescenza, decrescenza, derivata seconda e varie.
Io ho proceduto svolgendo la moltiplicazione nella seconda parentesi del numeratore, riconducendomi a
$((-senx*sqrt(1-senx))+((cos^2x)/(2(sqrt(1-senx)))))/(1-senx)$
E quando provo a dare denominatore comune al numeratore, mi blocco perchè non trovo via di uscita.
Sapete dirmi come posso procedere?
Stavo eseguendo uno studio di funzione e sto avendo problemi con la derivata prima.
La formula di derivazione per le funzioni fratte (credo) la applico bene, ciò che non riesco a fare è risalire ad una espressione della derivata più semplice e facilmente studiabile per il segno.
La funzione in questione è
$f(x)= cosx/(sqrt(1-senx))$
La derivata "grezza" che trovo svolgendo i calcoli è questa, e spero di non sbagliarmi
$((-senx*sqrt(1-senx))-(cosx*(- cosx)/(2(sqrt(1-senx)))))/(1-senx)$
La difficoltà che sto avendo è quella di ricondurmi ad una versione più "raffinata" di questo sgorbio per potermi calcolare crescenza, decrescenza, derivata seconda e varie.
Io ho proceduto svolgendo la moltiplicazione nella seconda parentesi del numeratore, riconducendomi a
$((-senx*sqrt(1-senx))+((cos^2x)/(2(sqrt(1-senx)))))/(1-senx)$
E quando provo a dare denominatore comune al numeratore, mi blocco perchè non trovo via di uscita.
Sapete dirmi come posso procedere?
Risposte
Ma il denominatore comune del numeratore è $2(sqrt(1-sin(x)))$
Ciao Pemberton!
Beh, prosegui da dove sei arrivato...
Dopo qualche passaggio, l'espressione della derivata della funzione $f(x) $ proposta più semplice che ho ottenuto è la seguente:
$f'(x) = 1/2 \sqrt{1 - sin(x)} $
"Pemberton!":
La formula di derivazione per le funzioni fratte (credo) la applico bene, ciò che non riesco a fare è risalire ad una espressione della derivata più semplice e facilmente studiabile per il segno.
Beh, prosegui da dove sei arrivato...
Dopo qualche passaggio, l'espressione della derivata della funzione $f(x) $ proposta più semplice che ho ottenuto è la seguente:
$f'(x) = 1/2 \sqrt{1 - sin(x)} $
"pilloeffe":
Ciao Pemberton!
[quote="Pemberton!"]La formula di derivazione per le funzioni fratte (credo) la applico bene, ciò che non riesco a fare è risalire ad una espressione della derivata più semplice e facilmente studiabile per il segno.
Beh, prosegui da dove sei arrivato...
Dopo qualche passaggio, l'espressione della derivata della funzione $f(x) $ proposta più semplice che ho ottenuto è la seguente:
$f'(x) = 1/2 \sqrt{1 - sin(x)} $[/quote]
Ok, volevo arrivare a qualcosa del genere, di facilmente studiabile, ma... come ?
Quali sono i passaggi che hai eseguito per arrivare a ciò ?
E' questo che non capisco
"axpgn":
Ma il denominatore comune del numeratore è $2(sqrt(1-sin(x)))$
..... Si, fin qui ci sono arrivato anche io .....
Ok, credo di esserci riuscito. Vi scrivo i passaggi e i miei ragionamenti e vi prego di controllare se ho fatto bene.
Partendo da qui, vado a dare denominatore comune al numeratore
$((-senx*sqrt(1-senx))+((cos^2x)/(2(sqrt(1-senx)))))/(1-senx)$
$((((-senx*sqrt(1-senx))*(2*sqrt(1-senx))+cos^2x)/(2(sqrt(1-senx)))))/(1-senx)$
Svolgo le moltiplicazioni e mi ritrovo con
$((-2senx + 2sen^2x + cos^2x)/(2sqrt(1-senx)))/(1-senx)$
Sostituisco $cos^2x$ con $1-sen^2x$
$((sen^2x - 2senx +1)/(2sqrt(1-senx)))/(1-senx)$
e mi riconduco al prodotto notevole. Inoltre porto sopra il denominatore per lavorare su due "piani" e non più tre
$(1-senx)^2/(2*sqrt(1-senx))*1/(1-senx)$
Semplificando la potenza al numeratore con il denominatore che ho capovolto e razionalizzando dunque arrivo a
$(sqrt(1-senx))/2$
Giusto?
Partendo da qui, vado a dare denominatore comune al numeratore
$((-senx*sqrt(1-senx))+((cos^2x)/(2(sqrt(1-senx)))))/(1-senx)$
$((((-senx*sqrt(1-senx))*(2*sqrt(1-senx))+cos^2x)/(2(sqrt(1-senx)))))/(1-senx)$
Svolgo le moltiplicazioni e mi ritrovo con
$((-2senx + 2sen^2x + cos^2x)/(2sqrt(1-senx)))/(1-senx)$
Sostituisco $cos^2x$ con $1-sen^2x$
$((sen^2x - 2senx +1)/(2sqrt(1-senx)))/(1-senx)$
e mi riconduco al prodotto notevole. Inoltre porto sopra il denominatore per lavorare su due "piani" e non più tre
$(1-senx)^2/(2*sqrt(1-senx))*1/(1-senx)$
Semplificando la potenza al numeratore con il denominatore che ho capovolto e razionalizzando dunque arrivo a
$(sqrt(1-senx))/2$
Giusto?
"Pemberton!":
Giusto?
Sì, è identica a quella che ti ho scritto...
Nota che $f'(x) $ è sempre positiva nel dominio $D$ della funzione proposta $f(x) = (cos x)/sqrt{1 - sin x} $
"pilloeffe":
[quote="Pemberton!"]Giusto?
Sì, è identica a quella che ti ho scritto...
Nota che $f'(x) $ è sempre positiva nel dominio $D$ della funzione proposta $f(x) = (cos x)/sqrt{1 - sin x} $[/quote]
Si ho visto, l'unico punto dubbio è $pi/2$ in cui la radice è uguale a zero ma è già escluso dal dominio .. Ritornare sulle cose in un secondo momento mi fa sempre bene ahahahah
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