Derivata prima e seconda distribuzioni
Salve a tutti
Ho forse qualche problema nel gestire le derivate prime e seconde nel senso delle distribuzioni
la funzione è la seguente:
$f(x) = sin (\pi/2 |x|) |x|<2$
$0 |x|>2 $
dato che c'è un $|x|$ e dovrò farne le derivate, applicando la definizione:
$(f'(x), \phi) = -(f(x), \phi')$
$(|x|', \phi) = -(|x|, \phi') = -\int_0^oo x \phi' dx + \int_{-oo}^0 x \phi' dx = $
$= \int_0^oo \phi dx - \int_{-oo}^0 \phi dx = (H(x), \phi) - (H(-x), \phi)$
$|x| = H(x) - H(-x) = sign x$
(sperando sia giusto, procedo con il resto)
sapendo che:
$f(x) = f_1 \if x \in (a,b)$
$f_2 \if x \in (b,c)$
$f'(x) = f'_1 \if x \in (a,b)$
$f'_2 \if x \in (b,c) $
a questo sistema si aggiunge:
$+ (f_2 (b) - f_1(b)) \delta (x-b)$
$(f_2 (b) - f_1(b)) = 0 $
$f'_1 = cos (\pi/2 |x|) \pi/2 [H(x)-H(-x)]$ $\if x \in (-2,2)$
$0 \in x \in (2,+oo)$
derivata seconda:
$f''_1 = -sin(\pi/2 |x|) (\pi/2 [H(x)-H(-x)]) (\pi/2 [H(x)-H(-x)]) + \pi/2 cos ( \pi/2 |x|) [H'(x)-H'(-x)] $
dove:
$[H'(x)-H'(-x)] = \delta_0 (x) - \delta_0 (-x)$
che ne pensate?
Ho forse qualche problema nel gestire le derivate prime e seconde nel senso delle distribuzioni
la funzione è la seguente:
$f(x) = sin (\pi/2 |x|) |x|<2$
$0 |x|>2 $
dato che c'è un $|x|$ e dovrò farne le derivate, applicando la definizione:
$(f'(x), \phi) = -(f(x), \phi')$
$(|x|', \phi) = -(|x|, \phi') = -\int_0^oo x \phi' dx + \int_{-oo}^0 x \phi' dx = $
$= \int_0^oo \phi dx - \int_{-oo}^0 \phi dx = (H(x), \phi) - (H(-x), \phi)$
$|x| = H(x) - H(-x) = sign x$
(sperando sia giusto, procedo con il resto)
sapendo che:
$f(x) = f_1 \if x \in (a,b)$
$f_2 \if x \in (b,c)$
$f'(x) = f'_1 \if x \in (a,b)$
$f'_2 \if x \in (b,c) $
a questo sistema si aggiunge:
$+ (f_2 (b) - f_1(b)) \delta (x-b)$
$(f_2 (b) - f_1(b)) = 0 $
$f'_1 = cos (\pi/2 |x|) \pi/2 [H(x)-H(-x)]$ $\if x \in (-2,2)$
$0 \in x \in (2,+oo)$
derivata seconda:
$f''_1 = -sin(\pi/2 |x|) (\pi/2 [H(x)-H(-x)]) (\pi/2 [H(x)-H(-x)]) + \pi/2 cos ( \pi/2 |x|) [H'(x)-H'(-x)] $
dove:
$[H'(x)-H'(-x)] = \delta_0 (x) - \delta_0 (-x)$
che ne pensate?
Risposte
Up
Fino a quando dici che la derivata del modulo è il segno è più o meno chiaro.
Il resto mi sembra caotico e incomprensibile, spiega meglio cosa stai facendo.
Il resto mi sembra caotico e incomprensibile, spiega meglio cosa stai facendo.
Per controllare, basta fare un disegnino e derivare graficamente. 
Insomma sono grafici un pò grezzi (nel senso che dovrei aggiungerci che per $x \in (2,+oo)$ la funzione $f_2 = 0$
ha derivate successive nulle...) detto questo:
tra $f(x)$ e $f'(x)$ in $2$ non c'è salto $\sigma = f_2 (2) - f_1 (2) =0$ (se ci fosse stato un salto cisarebbe dovuto essere un impulso..) cambia l'ampiezza da $1$ passa ad $1/2$ (e qui credo di trovarmi) ma quel fattore $sgn x = H(x) - H(-x)$ graficamente come lo 'guardo'?
tra $f'(x)$ e $f''(x)$ c'è ribaltamento della funzione, l'ampiezza cambia e c'è un salto dunque sicuro c'è un impulso centrato in 2
@raptorista scusa! ma non avendo messo le parentesi, graficamente è vero che è un pò un casino.
f(x) è unione di due funzioni $f_1( x) = sin (pi/2 |x|) x \in (-2,2)$ e $0 \in (2,+oo)$
domanda, non capisco perchè mi si dia informazione tra $(2,+oo)$ e non si dica al di fuori di $(-2,2)$ è nulla..
ha derivate successive nulle...) detto questo:
tra $f(x)$ e $f'(x)$ in $2$ non c'è salto $\sigma = f_2 (2) - f_1 (2) =0$ (se ci fosse stato un salto cisarebbe dovuto essere un impulso..) cambia l'ampiezza da $1$ passa ad $1/2$ (e qui credo di trovarmi) ma quel fattore $sgn x = H(x) - H(-x)$ graficamente come lo 'guardo'?
tra $f'(x)$ e $f''(x)$ c'è ribaltamento della funzione, l'ampiezza cambia e c'è un salto dunque sicuro c'è un impulso centrato in 2
@raptorista scusa! ma non avendo messo le parentesi, graficamente è vero che è un pò un casino.
f(x) è unione di due funzioni $f_1( x) = sin (pi/2 |x|) x \in (-2,2)$ e $0 \in (2,+oo)$
domanda, non capisco perchè mi si dia informazione tra $(2,+oo)$ e non si dica al di fuori di $(-2,2)$ è nulla..
Guarda che se consideri solo le derivate classiche, ti perdi tutti i termini impulsivi.
sì quelle sarebbero le derivate classiche, ho un esempio fatto da te, ma la questione di controllare con il grafico è un pò un problema, sopratutto se c'è la funzione di heavside di mezzo :/
da cosa potrei partire per far correttamente questo grafico?
da cosa potrei partire per far correttamente questo grafico?
Il grafico della funzione originaria è:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="purple"; line([-4,0],[-2,0]); line([2,0],[4,0]); plot("sin(1.5708*abs(x))",-2,2);[/asvg]
la derivata distribuzionale prima coincide con la derivata classica q.o., perché la funzione non ha salti:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="blue"; line([-4,0],[-2,0]); line([2,0],[4,0]); plot("-1.5708*cos(1.5708*x)",-2,0); plot("1.5708*cos(1.5708*x)",0,2);[/asvg]
ma la derivata distribuzionale seconda contiene termini impulsivi, perché la derivata prima ha salti:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="cyan"; line([-4,0],[-2,0]); line([2,0],[4,0]); plot("(1.5708)^2*sin(1.5708*x)",-2,0); plot("-(1.5708)^2*sin(1.5708*x)",0,2);
marker="arrow"; line([-2,0],[-2,1.5708]); line([0,0],[0,3.1416]); line([2,0],[2,1.5708]);[/asvg]
Quindi ad occhio direi che la derivata distribuzionale seconda è:
\[
f^{\prime \prime} (x) = -\frac{\pi^2}{4}\ f(x) + \frac{\pi}{2}\ \delta (x+2) + \pi\ \delta (x) +\frac{\pi}{2}\ \delta (x-2)\; \ldots
\]
O no?
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="purple"; line([-4,0],[-2,0]); line([2,0],[4,0]); plot("sin(1.5708*abs(x))",-2,2);[/asvg]
la derivata distribuzionale prima coincide con la derivata classica q.o., perché la funzione non ha salti:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="blue"; line([-4,0],[-2,0]); line([2,0],[4,0]); plot("-1.5708*cos(1.5708*x)",-2,0); plot("1.5708*cos(1.5708*x)",0,2);[/asvg]
ma la derivata distribuzionale seconda contiene termini impulsivi, perché la derivata prima ha salti:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="cyan"; line([-4,0],[-2,0]); line([2,0],[4,0]); plot("(1.5708)^2*sin(1.5708*x)",-2,0); plot("-(1.5708)^2*sin(1.5708*x)",0,2);
marker="arrow"; line([-2,0],[-2,1.5708]); line([0,0],[0,3.1416]); line([2,0],[2,1.5708]);[/asvg]
Quindi ad occhio direi che la derivata distribuzionale seconda è:
\[
f^{\prime \prime} (x) = -\frac{\pi^2}{4}\ f(x) + \frac{\pi}{2}\ \delta (x+2) + \pi\ \delta (x) +\frac{\pi}{2}\ \delta (x-2)\; \ldots
\]
O no?
la derivata distribuzionale prima coincide con la derivata classica q.o., perché la funzione non ha salti:
cioè:
se pongo $\beta = pi/2$
$f'(x) = \beta cos (\beta |x|) * sgn x$
quindi se nella funzione iniziale non ci sono salti, nella derivata prima non vi saranno impulsi, ma questo l'ho anche verificato con $f_2(2) - f_1(2) =0$
nella derivata seconda l'ho capita, ma ho un dubbio
$f''(x) = - \pi^2/4 sin (\beta |x|) sgn^2 x + \pi/2 \delta (x+2) + \pi/2 \delta(x-2) + \pi \delta(x)$
questa è la derivata classica: $- \pi^2/4 sin (\beta |x|) sgn^2 x $
mentre
$ \pi/2 \delta (x+2) + \pi/2 \delta(x-2) + \pi \delta(x)$ i salti generano impulsi centrati nei punti di discontinuità, rispettivamente -2,2,0
i salti vengono calcolati con il limiti, quindi dovrei trovarmi.
a quanto pare in questi casi la derivata alla leibniz non funge :S
Dipende da come calcoli la dervata à la Leibniz... Del tuo post iniziale io non ci ho capito nulla.
leggevo questo topic di dissonance
viewtopic.php?f=36&t=92928
dove ci sono distribuzioni 'strane' le cui derivate prime non vengono fuori con la regola di Leibniz..
viewtopic.php?f=36&t=92928
dove ci sono distribuzioni 'strane' le cui derivate prime non vengono fuori con la regola di Leibniz..
Ma se continui a leggere oltre, ti rendi conto che il problema non è la regola di Leibniz; piuttosto è la definizione stessa di distribuzione prodotto a complicare un po' le cose...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo