Derivata prima e seconda

[Hajra]

come si fa la derivata prima e seconda di un esponenziale tipo quelle + complesse.
f(x) = (x+1)e^(x/x-1)
e se me lo spiegate in generale come si fa di una frazione con il modulo e log mi fate un grosso favore....
le derivate fondamentali lo so.

[ciampax]

La funzione è questa

[math]f(x)=(x+1) e^{\frac{x}{x-1}}[/math]

. Quello che devi fare è applicare le formule e le regole di derivazione che conosci ripetutamente. Per prima cosa, osserva che la tua funzione è data dal prodotto tra

[math]h(x)=x+1[/math]

e

[math]g(x)=e^{\frac{x}{x-1}}[/math]

, pertanto dovrai applicare la regola di derivazione del prodotto:

[math]f'(x)=h'(x)\cdot g(x)+h(x)\cdot g'(x)[/math]

D'altra parte si ha

[math]h'(x)=1[/math]

, mentre la seconda funzione risulta una funzione composta della forma

[math]g(x)=e^{k(x)}[/math]

dove

[math]k(x)=\frac{x}{x-1}[/math]

. Possiamo scrivere allora, dalla regola di derivazione delle funzioni composte

[math]g'(x)=e^{k(x)}\cdot k'(x)[/math]

e poiché, usando la regola di derivazione di un quoziente, per cui

[math]\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)'=\frac{p'(x)\cdot q(x)-p(x)\cdot q'(x)}{[q(x)]^2}[/math]

, abbiamo

[math]g'(x)=e^{k(x)}\cdot\frac{1\cdot (x-1)-x\cdot 1}{(x-1)^2}=e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\frac{-1}{(x-1)^2}[/math]

Si ha quindi

[math]f'(x)=1\cdot e^{\frac{x}{x-1}}-(x+1)\cdot e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}=\\ =e^{\frac{x}{x-1}}\left(1-\frac{x+1}{(x-1)^2}\right)=e^{\frac{x}{x-1}}\left(\frac{x^2-2x+1-x-1}{(x-1)^2}\right)[/math]

e infine

[math]f'(x)=e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\frac{x^2-3x}{(x-1)^2}[/math]

Aggiunto 36 minuti più tardi:

Allo stesso modo puoi procedere per calcolare la derivata seconda. Ti mostro solo il calcolo diretto:

[math]f''(x)=\left(e^{\frac{x}{x-1}}\right)'\cdot\frac{x^2-3x}{(x-1)^2}+e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\left(\frac{x^2-3x}{(x-1)^2}\right)'=\\ =-e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}\cdot\frac{x^2-3x}{(x-1)^2}+e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\frac{(2x-3)(x-1)^2-(x^2-3x)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}=\\ =-e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\frac{x^2-3x}{(x-1)^4}+e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\frac{2x^3-4x^2+2x-3x^2+6x-3-2x^3+6x^2+2x^2-6x}{(x-1)^4}=\\ =e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\left[\frac{-x^2+3x+x^2+2x-3}{(x-1)^4}\right]=e^{\frac{x}{x-1}}\cdot\frac{5x-3}{(x-1)^4}[/math]

[Hajra]

grazie ho capito, quindi ti faccio un'altra domanda

[math]f(x)=|logx|(logx-1)[/math]

la derivata 1° del funzione

[math]logx(logx-1)[/math]

[math]x>1[/math]

è

[math]f'(x)={\frac{1}{x}}*(2logx-1)[/math]

per la derivata seconda ho un prodotto quindi

[math]f"(x) = g'(x)*h(x)+ h'(x)*g(x)[/math]

dove

[math]g(x)= \frac{1}{x}[/math]

e

[math]h(x)= (2log-1)[/math]

la derivata di g(x) è

[math]g'(x) = \frac{-1}{x^2}[/math]

ma non riesco capire la derivata di

[math]2logx-1[/math]

cioè lo so k la derivata di

[math]logx = \frac{1}{x}[/math]

ma questo 2 d'avanti al logaritimo come faccio???

[ciampax]

La derivata di

[math]f(x)=c\cdot g(x)[/math]

dove

[math]c\in\mathbb{R}[/math]

è una costante risulta

[math]f'(x)=c\cdot g'(x)[/math]

, per cui...

[Hajra]

allora

[math]f"(x) = \frac{-1}{x^2}*(2logx-1)+\frac{1}{x}* \frac{1}{x}[/math]

giusto?

[ciampax]

No:

[math](2\log x-1)'=\frac{2}{x}[/math]

la costante mica sparisce.

[Hajra]

fatto!!! mi porta grazieeeeeeeee