Derivata prima e seconda

[andre85-votailprof]

Salve,
volevo chiedervi un piccolo aiuto.
Sto eseguendo lo studio di una funzione: $f(x)=e^(1/(x^2-3x))$

Dopo aver trovato il dominio, il segno e gli asintoti sono arrivato a calcolare la derivata prima trovando:

$f'(x)=((3-2x)*e^(1/(x^2-3x)))/(x^2-3x)^2$

Studiando poi il segno tutto sembra compaciare quindi, correggetemi se sbaglio, la derivata prima così scritta è corretta.

Il problema adesso è sorto nel calcolo della derivata seconda nella quale sto facendo tanta confusione. Forse ho dimenticato a semplificare qualcosa?

Sarò grato a chi sarà così gentile da darmi una dritta.

[Andrea902]

La derivata prima è giusta. Per quanto riguarda la derivata seconda, invece, i calcoli sono un po' laboriosi. Poi, considerando l'espressione analitica della derivata prima non puoi semplificare nulla. Puoi solo osservare che $(x^2-3x)^2=x^2(x-3)^2$, ma non credo possa servirti a molto per determinare la derivata seconda.
Riporto di seguito la derivata seconda:
$f''(x)=(e^(1/(x^2-3x)) *(6x^4-36x^3+76x^2-66x+9))/(x^4(x-3)^4)$ ... credo sia giusta!

Andrea

[andre85-votailprof]

Anche a me è risultata così... Pensavo di aver combinato qualche danno con i calcoli.
Per lo studio del segno forse conviene scomporre $6x^4-36x^3+76x^2-66x+9$ o sbaglio?

[Andrea902]

Sì, in teoria converrebbe scomporre. L'unico problema è che se consideri l'equazione $6x^4-36x^3+76x^2-66x+9=0$, questa non ammette radici razionali. Quindi conviene procedere per approssimazione. A titolo di curiosità riporto le radici, fornite da Derive:
$x=3/2+sqrt(sqrt(67)/6+5/12)$ o $x=3/2-sqrt(sqrt(67)/6+5/12)$ !

Andrea

[andre85-votailprof]

Con il grafico però sembra che tutto compacia anche se in numeri che sono usciti fuori possono trarre in inganno.
Ti ringrazio Andrea per l'aiuto..

[Andrea902]

Prego!

Andrea