Derivata prima di una funzione

avmarshall
salve a tutti, ho dei problemi con la derivata prima di una funzione integrale; la funzione è la seguente:
$ int_(x)^(1) arcsen(sqrt(-log^2(t)-2log(t))) dt $
ho calcolato il campo di estistenza e mi viene:
$ 1/e^2 < x < 1 $ con gli estremi compresi.
il mio problema è che quando faccio la derivata prima (cioè quando ottengo la funzione integranda) e ne studio il segno "scopro" che è sempre positiva nel domino; tuttavia quando disegno la funzione con derive la funzione risulta di fatto sempre decrescente e non ne capisco il motivo.
ho pensato magari saranno gli estremi di integrazione che devo invertire ma essendo la x sempre minore o uguale ad 1 non vedo il motivo per cui invertire gli estremi; altra cosa che ho notato è che f(1) fa 0, la funzione è sempre positiva e quindi derive ha ragione a dirmi che sia decrescente ma non trovo l'errore nel mio ragionamento.
grazie a tutti

Risposte
Fioravante Patrone1
Naturalmente serve il teorema fondamentale del calcolo integrale. Per questo teorema "l'estremo variabile" è il secondo estremo di integrazione. Allora conviene ricondursi a questa situazione.

$G(x) = \int_x^b f(x) dx = - \int_b^x f(x) dx$

Cosa che vale sia che $x$ sia più piccolo o più grande di $b$.

Ergo, $G'(x) = - f(x)$

Non so se questo sia il tuo errore. Ciao

avmarshall
ma per il teorema fondamentale del calcolo necessariamente l'estremo variabile deve essere il secondo?e se si perchè? io ricordo che nel teorema gli estremi sono quelli dell'intervallo (a e b) dove a è minore di b e dove sono appunto valori noti;non trovo niente su estremi variabili.
grazie per la risposta

Fioravante Patrone1
"avmarshall":
ma per il teorema fondamentale del calcolo necessariamente l'estremo variabile deve essere il secondo?
Sì.


"avmarshall":
e se si perchè?
Perché se l'estremo variabile è il secondo, si dimostra. Se è il primo, è falso.
Basta pensare ad un esempio semplicissimo: $F(x) = \int_a^x 2t dt = x^2 - a^2$. $F'(x) = 2x$, che è per l'appunto l'integranda calcolata "nel secondo estremo".
Invece, $\int_x^b 2t dt = b^2 - x^2$. E la sua derivata, $-2x$ NON è la funzione integranda calcolata né nel primo né nel secondo estremo.


"avmarshall":
io ricordo che nel teorema gli estremi sono quelli dell'intervallo (a e b) dove a è minore di b e dove sono appunto valori noti;non trovo niente su estremi variabili.
Qui mi sa che fai confusione con qualche altro teorema. Il teorema fondamentale del calcolo integrale si occupa della "funzione integrale", ovvero un estremo di integrazione (il secondo) è variabile.

avmarshall
ok ho capito; non riuscivo a collegare il fatto che la derivata deve essere l'integranda!comunque ricordavo male io il teorema, hai ragione.grazie mille

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