DERIVATA prima di una funzione!

[abaco90]

Ciao a tutti,

ho un problema con la derivata prima di questa funzione $ y = (x^8 - 10x^4 + 5)/(x^4 + 1)^2 $.

Svolgendo tutti i procedimenti, sono arrivato ad avere $ (8x^11 + 8x^7 - 40x^5 - 40x - 2x^8 + 20x^4 -10)/(x^4 + 1)^3 $
e non ho idea di come semplificare.

Il mio testo da come risultato $(16x^3(3x^4 - 5))/(x^4 + 1)^3 $

Ho sbagliato qualcosa?

[singularity]

$y' = ((8x^7 - 40x^3)(x^4+1)^2 - 8x^3 (x^8 - 10x^4 + 5)(x^4 -1))/(x^4 - 1)^4 =

= ((8x^7 - 40x^3)(x^4+1) - 8x^3 (x^8 - 10x^4 + 5))/(x^4 - 1)^3 =

=(8x^11 + 8x^7 - 40x^7 - 40x^3 - 8x^11 + 80x^7 - 40x^3)/(x^4 - 1)^3 =

(48x^7 - 80x^3)/(x^4 - 1)^3 = (16x^3 (3x^4 - 5))/(x^4 - 1)^3 $

[seb1]

Considera che potevi semplificarti notevolmente i conti derivando \(4\left(\frac{4}{(1+t)^2}-\frac{3}{1+t}\right)\), con \(t=x^4\) e sfruttando la regola della catena.

[abaco90]

"singularity":$y' = ((8x^7 - 40x^3)(x^4+1)^2 - 8x^3 (x^8 - 10x^4 + 5)(x^4 -1))/(x^4 - 1)^4 =

= ((8x^7 - 40x^3)(x^4+1) - 8x^3 (x^8 - 10x^4 + 5))/(x^4 - 1)^3 =

=(8x^11 + 8x^7 - 40x^7 - 40x^3 - 8x^11 + 80x^7 - 40x^3)/(x^4 - 1)^3 =

(48x^7 - 80x^3)/(x^4 - 1)^3 = (16x^3 (3x^4 - 5))/(x^4 - 1)^3 $

Grazie per la risposta, ma non ho capito una cosa.
Nel primo passaggio quel $ -8x^3 $ da dove viene fuori?

[singularity]

Dunque, quando hai una funzione rapporto di due funzioni:

$y = (f(x))/g(x)$ (con $g(x) !=0$ )

se questa funzione è derivabile nel suo dominio di definizione allora si dimostra che la derivata risulta essere:

$y' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))^2$

In questo caso abbiamo:

$f(x) = x^8 - 10x^4 + 5$
$g(x) = (x^4 + 1)^2$

Nel primo passaggio $f(x)g'(x) = (x^8 - 10x^4)g'(x)$ dove $g'(x) = 2(x^4 +1)4x^3 = 8x^3 (x^4 + 1)$ (derivata di una funzione composta!) e ti ritrovi ciò che ti ho scritto nel messaggio di prima.