Derivata per uno studio di funzione logaritmica

[saramm]

Ciao a tutti, svolgendo lo studio di questa funzione:
y= $ln((4-x)/(x-1))$ non riesco a trovarmi bene quando faccio la derivata.
Io la svolgo facendo
y' = $1/((4-x)/(x-1))*(-1(x-1)-(4-x))/(x-1)^2$
poi ho = $1/((4-x)/(x-1))*(-3/(x-1)^2)$ = $(1/(-4 + 5 + x - x))*(-3/(x-1)^2)$ = $-3/(x-1)^2$ è giusto come risultato? perchè ogni volta che provo a risolverla mi viene un risultato diverso... Ma dove sbaglio????
Mi era venuto anche
y' = $1/((4-x)/(x-1))*(-1(x-1)-(4-x))/(x-1)^2$ = $[(-4 +x)*(-x+1)]*(-3/(x-1)^2)$ = $(-5x -4 -x +x)*(-3/(x-1)^2)$ =
=$(-15x -12)/((x-1)^2)$

[Daddarius1]

La funzione è $ln((4-x)/(x-1))$?

[saramm]

esatto

[Daddarius1]

Arrivato a $-3/((4-x)/(x-1))* 1/(x-1)^2$ ottieni $ -3/((4-x)*(x-1)) $ che è uguale a $(-3)/(4x-4-x^2 +x)$ che diventa $(-3)/(-x^2 +5x -4) $ e ancora meglio $ 3/(x^2 -5x + 4)$ .

[saramm]

Ma come?? e dove sparisce $(x-1)^2$?

[chiaraotta1]

Mi sembra che
$D[ln((4-x)/(x-1))]=1/((4-x)/(x-1))*D[(4-x)/(x-1)]=(x-1)/(4-x)*(-1*(x-1)-(4-x)*1)/(x-1)^2=$
$-3/((4-x)*(x-1))$.

[Daddarius1]

"Saraemme":Ma come?? e dove sparisce $(x-1)^2$?

Sparisce moltiplicando le due quantità uguali.

[saramm]

si ma non ho capito il passaggio da $-3/((4-x)/(x-1))* 1/(x-1)^2$ a $ -3/((4-x)*(x-1)) $

[Daddarius1]

"Saraemme":si ma non ho capito il passaggio da $-3/((4-x)/(x-1))* 1/(x-1)^2$ a $ -3/((4-x)*(x-1)) $

Ho eseguito la riduzione delle due quantità senza ribaltare $-3/...$

[saramm]

"Daddarius":[quote="Saraemme"]si ma non ho capito il passaggio da $-3/((4-x)/(x-1))* 1/(x-1)^2$ a $ -3/((4-x)*(x-1)) $

Ho eseguito la riduzione delle due quantità senza ribaltare $-3/...$[/quote]
Non riesco a capire... io se eseguo i calcoli al denominatore ho: $(4-x)*(-x+1)*(x^2*2x)$

[saramm]

oddio no scusate ho capito niente. grazie tante

[saramm]

scusate riprendendo questa derivata, una volta che ottengo $3/(x^2-5x+4)$ faccio lo studio del segno per vedere gli eventuali punti di minimo e massimo e quindi pongo $3>o$ che è sempre vero e $x^2-5x+a>0$ quindi trovo le due $x$ $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2a}$ = $x_1=4$ $x_2=1$ ora se sostituisco questi due valori alla funzione mi risultano uno zero e un risultato impossibile quindi è possibile che non ci siano nè massimi nè minimi?

[chiaraotta1]

La funzione $f(x)=ln((4-x)/(x-1))$ è definita dove $(4-x)/(x-1)>0$, il che avviene per $1 In tutti i punti di questo intervallo la derivata $f'(x)=-3/((4-x)*(x-1))$ è $<0$.
Quindi la funzione non ha massimi o minimi relativi.

[saramm]

quindi per disegnarla mi affido solo ai limiti e al punto che ho trovato con lo studio del segno quando ho posto l'argomento del logaritmo maggiore di 1 dove mi è venuto 5/2 giusto?

[chiaraotta1]

Mi sembra di sì, magari se calcoli anche $f''(x)=3*(5 - 2x)/((x - 1)^2*(x - 4)^2)$ ti rendi conto che c'è anche un flesso in $(5/2, 0)$.