Derivata parziale semplice

[biowep]

Data la derivata parziale:

\(\displaystyle \frac{d}{dx}x^y \)

Se la regola generale è: "quando derivo rispetto ad una qualsiasi variabile, considero le altre come se fossero costanti", perché allora in questo caso fallisce?
Dove sto sbagliando?
\( \displaystyle \frac{d}{dx}x^y \neq yx^{y-1} \)

Mi sembra abbastanza strano, dato che:
\( \displaystyle \frac{d}{dx}x^z = zx^{z -1} \)
\( \displaystyle \frac{d}{dx}x^a = a x^{a -1} \)
\( \displaystyle \frac{d}{dx}x^\pi = \pi x^{\pi -1} \)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}x^y = \frac{ye^{y\log(x)}}{x} \) (risultato trovato in una raccolta di esercizi, che comunque sembrerebbe corretto)

[quantunquemente]

il risultato dato dal libro è cervellotico ma perfettamente uguale al tuo;prova a dimostrarlo

[biowep]

Hai perfettamente ragione:
\( \displaystyle \frac{ye^{y\log(x)}}{x} = \frac{ye^{\log(x^y)}}{x} = \frac{yx^y}{x} = yx^yx^{-1} \)
Mi sembrava talmente alieno che ho dato per scontato di aver sbagliato io.

Comunque ero sicuro di aver sbagliato anche perché su wolfram alpha, lo stesso risultato è questo (che è corretto se \(\displaystyle y'(x)=0 \)). Avete idea del perché sia scritto in quel modo solo quando l'esponente è la variabile y (che da un punto di vista analitico non fa nessuna differenza chiamarla \(\displaystyle z \) o \(\displaystyle a \) come negli esempi sopra)?

[poll89]

Sottocrivo, stavo per dire la stessa cosa ma mi avete battuto sul tempo del resto, se anche $z$ è una variabile, perchè mai $del/(del x) x^z $ sarebbe diversa nella forma da $del/(del x) x^y $?

Quando si hanno di questi dubbi la cosa migliore è rifugiarsi nella derivata direzionale, quindi alla fine nella definizione di derivata parziale.
$del/(del x) f(x,y) = lim_(h->0) (f((x,y) + h*(1,0)) - f(x,y))/h$
Ora, mi rendo conto che $lim_(h->0) ((x+h)^y - x^y)/h$ non sia proprio un limite standard, infatti in questo caso non è molto utile però in generale, fallito tutto il resto, questo è il modo.