Derivata parziale n-esima di una funzione fratta

[ludwigZero]

Salve.
Ho riscontrato problemi nel generalizzare una derivata parziale.
Vale la catena di uguaglianze:





(dove $ D^n $ sta per derivata parziale n-esima rispetto alla $x$)

io non riesco a capire
1) perchè si mette la parte immaginaria e non rimane semplicemente $1/(1+y^2))$ dove inoltre $y = 2 pi x$
2) da dove esce quel $(-i)^n$ ?

[Quinzio]

Provo a darti una risposta, ma ben venga se interviene qualcuno esperto.

1) Perche' cosi' hai al numeratore una funzione di primo grado, invece che una di secondo: $1+y^2$. Prova a derivare esplicitamente la funzione reale, di secondo grado, e vedrai che diventa complicato.

2) Quando derivi ripetutamente una funzione tipo $1/x$ hai:
$-1/(x^2) $
$+2/(x^3)$
$-6/(x^4) $

Quel $(-i)^n$ fa commutare il segno automaticamente (e ci hanno messo anche il $i^n$ che era presente prima).