Derivata parziale lungo una direzione

[Mandiatutti]

Ciao a tutti, non riesco a capire un passaggio di un esercizio che dice: Calcola la derivata della funzione:
\( f(x,y)= x^2y-e^x+^y \)

(non sono riuscito a mettere anche il + all'esponente perché non ho capito come fare, ma l'esponente di e è (x+y)

lungo la direzione \( v=(1/2, \sqrt{3}/2 ) \)
si ha: \( g(t)=f(x+\frac{t}{2}, y+\frac{\sqrt{3}}{2}t)=(x+\frac{t}{2})^2(y+\frac{\sqrt{3}}{2}t)-e\exp({x+y+t(1/2+\sqrt{3}/2)} )\)
(dove exp dopo e è tutto l'esponente di e)

il prossimo passaggio è quello che non capisco, proprio non so che cosa sta facendo e neanche guardando alla definizione riesco a capirlo... Qualcuno è così gentile sa spiegramelo?
Venendo al passaggio successivo esso risulta:
\( \frac{\partial f}{\partial v}(x,y)=g'(0)=xy+\frac{\sqrt{3}}{2}x^2-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})e^x+^y \)

[Mandiatutti]

"TeM":Definizione: Sia \(f: A \to \mathbb{R}\), con \(A\) aperto di \(\mathbb{R}^2\), \(\left(x_0,\,y_0\right)\in A\), e sia \(\hat{v}:=\left(v_1,\,v_2\right)\) un versore.
Si dice derivata direzionale di \(f\) rispetto al versore \(\hat{v}\), nel punto \(\left(x_0,\,y_0\right)\), la quantità \[ D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right) := \lim_{t\to 0} \frac{f\left(x_0+t\,v_1,\,y_0+t\,v_2\right) - f\left(x_0,\,y_0\right)}{t} \] purché tale limite esista finito.

Nota: le derivate di direzioni \(\hat{v}=(1,\,0)\) e \(\hat{v}=(0,\,1)\), essendo speciali, in quanto calcolate rispettivamente lungo l'asse x e lungo l'asse y, prendono il nome di derivate parziali. Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di \(f\) in \(\left(x_0,\,y_0\right)\) si dice vettore gradiente di \(f\), calcolato in \(\left(x_0,\,y_0\right)\), e solitamente si indica col simbolo \(\nabla f \left(x_0,\,y_0\right)\).

Teorema: Sia \(f: A \to \mathbb{R}\), con \(A\) aperto di \(\mathbb{R}^2\), \(f\) differenziabile in \(\left(x_0,\,y_0\right)\in A\).
Allora per ogni versore \(\hat{v}:=\left(v_1,\,v_2\right)\) esiste la derivata direzionale \(D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right)\),
e vale l'identità \[ D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right) = \nabla f \left(x_0,\,y_0\right) \cdot \hat{v} \] in letteratura nota come formula del gradiente.


Alla luce di tutto ciò sapresti risolvere l'esercizio che hai proposto?

Ti ringrazio della spiegazione, ma no, non saprei come proseguire... devo fare il gradiente della funzione per il vettore v?
Forse se mi illustri il passaggio lo riesco a capire... Ho sempre avuto qualche difficoltà con le formule scritte...