Derivata parziale di integrale
Ciao, amici! Ho trovato questa espressione di cui non saprei come convincermi:
\[\frac{\partial}{\partial c_i} \int_{0}^{1} \left(\sum_{i=1}^{n} c_i x^{i-1} -f(x)\right)^2 \text{d}x= 2\int_{0}^{1}\left(\sum_{j=1}^{n}c_j x^{j-1}-f(x)\right)x^{i-1} \text{d}x\]
Ho l'impressione che si sia applicata una proprietà $\frac{\partial}{\partial y} \int_{a}^{b} g(x,y) \text{d}x= \int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y} g(x,y) \text{d}x$ che però non conoscevo e non so come giustificare (nei casi in cui possa essere giustificata)... Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi a capirci qualcosa?
$+oo$ grazie!!!
\[\frac{\partial}{\partial c_i} \int_{0}^{1} \left(\sum_{i=1}^{n} c_i x^{i-1} -f(x)\right)^2 \text{d}x= 2\int_{0}^{1}\left(\sum_{j=1}^{n}c_j x^{j-1}-f(x)\right)x^{i-1} \text{d}x\]
Ho l'impressione che si sia applicata una proprietà $\frac{\partial}{\partial y} \int_{a}^{b} g(x,y) \text{d}x= \int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y} g(x,y) \text{d}x$ che però non conoscevo e non so come giustificare (nei casi in cui possa essere giustificata)... Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi a capirci qualcosa?
$+oo$ grazie!!!
Risposte
Dovresti cercare informazioni sull'argomento "Derivazione sotto il segno di integrale", purtroppo devo ancora studiarlo ma so che spesso sui libri compare con questo nome!
Giusto. Infatti sono risultati classici. Diciamo che in condizioni normali, la derivata e l'integrale commutano: in fondo, l'integrale è una somma e la derivata un rapporto di differenze, no...? E quindi dovrebbero commutare.
Si, poi arrivano i soliti matematici rompiscatole con i loro controesempi astrusi che ti obbligano a fare un po' di attenzione quando fai questo genere di passaggi. Ma di solito tutto fila liscio.
Si, poi arrivano i soliti matematici rompiscatole con i loro controesempi astrusi che ti obbligano a fare un po' di attenzione quando fai questo genere di passaggi. Ma di solito tutto fila liscio.
@Davide: sì, come ti hanno già detto, si tratta di una derivazione sotto il segno di integrale. Per quel poco che ho visto è un risultato che si usa spesso (in contesti di PDE). Tieni presente che, come dice dissonance, di solito fila tutto liscio. Il motivo? Le ipotesi del teorema sono che $g(x,y)$ sia continua e che esista continua la derivata $g_y(x,y)$. L'unico requisito forte è quindi la continuità della derivata prima, ma di solito ce l'hai e quindi applichi tranquillamente il tutto.
Comunque mi pare di averlo visto tra gli esercizi del tuo libro di Analisi II (Barutello-Verzini-Terracini-Conti etc). Mi pare ci fosse anche il calcolo della derivata di
\[
x \mapsto \int_{a(x)}^{b(x)} g(x,y)dy
\]
E' un ottimo esercizio (che ti invito a fare, se vuoi!) per ripassare la derivazione di funzioni composte.
Comunque mi pare di averlo visto tra gli esercizi del tuo libro di Analisi II (Barutello-Verzini-Terracini-Conti etc). Mi pare ci fosse anche il calcolo della derivata di
\[
x \mapsto \int_{a(x)}^{b(x)} g(x,y)dy
\]
E' un ottimo esercizio (che ti invito a fare, se vuoi!) per ripassare la derivazione di funzioni composte.
Grazie di cuore a tutti!!!!!
Uh, sì, a p. 373, con estremi di integrazione addirittura rappresentati da due generiche funzioni continue (ancora meglio che con due costanti!): me l'ero dimenticato...
Grazie di cuore di nuovo!
"Paolo90":
Comunque mi pare di averlo visto tra gli esercizi del tuo libro di Analisi II (Barutello-Verzini-Terracini-Conti etc)
Uh, sì, a p. 373, con estremi di integrazione addirittura rappresentati da due generiche funzioni continue (ancora meglio che con due costanti!): me l'ero dimenticato...
Grazie di cuore di nuovo!
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