Derivata operatore lineare
Sia $t$ una variabile reale, $underline v$ un vettore appartenente ad uno spazio vettoriale su campo complesso, e $f$ un operatore lineare.
Supponiamo che $\underline v$ sia funzione di $t$ e che $f$ dipenda esplicitamente da $t$. Devo quindi calcolare
$d/dt f(t,\underline v (t) )$
Come si procede?
E' lecito proseguire come qui sotto?
$ \lim_{dt\rightarrow 0} \frac {f(t+dt,\underline v)-f(t,\underline v)}{dt}+\lim_{dt\rightarrow 0} \frac {f( t,\underline v (t+dt))-f(t,\underline v (t) ) }{dt}=$
$= \frac {\partial f(t,\underline v)}{\partial t} + \lim_{dt\rightarrow 0} \frac {f( t,\underline v (t+dt)-\underline v (t))}{dt}= \frac {\partial f(t,\underline v)}{\partial t} +f(t,\frac {d\underline v}{dt}) $
Supponiamo che $\underline v$ sia funzione di $t$ e che $f$ dipenda esplicitamente da $t$. Devo quindi calcolare
$d/dt f(t,\underline v (t) )$
Come si procede?
E' lecito proseguire come qui sotto?
$ \lim_{dt\rightarrow 0} \frac {f(t+dt,\underline v)-f(t,\underline v)}{dt}+\lim_{dt\rightarrow 0} \frac {f( t,\underline v (t+dt))-f(t,\underline v (t) ) }{dt}=$
$= \frac {\partial f(t,\underline v)}{\partial t} + \lim_{dt\rightarrow 0} \frac {f( t,\underline v (t+dt)-\underline v (t))}{dt}= \frac {\partial f(t,\underline v)}{\partial t} +f(t,\frac {d\underline v}{dt}) $
Risposte
No: se proprio vuoi scrivere la derivata come rapporto incrementale, allora deve essere
$\lim_{h\to 0}{f(t+h,v(t+h))-f(t,v(t))}/h}$.
Ma in ogni caso, basta applicare il teorema di derivazione delle funzioni composte, per cui possiamo scrivere questo: supponiamo che $v(t)=(x_1(t),...,x_n(t))$ siano le componenti del vettore (complesse): allora
$d/{dt} f(t,v(t))={\partial f}/{\partial t}(t,v(t))+\sum_{k=1}^n {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))\cdot {d x_k}/{dt}(t)$
(nota che, in pradica, si sta usando il Teorema del differenziale totale).
$\lim_{h\to 0}{f(t+h,v(t+h))-f(t,v(t))}/h}$.
Ma in ogni caso, basta applicare il teorema di derivazione delle funzioni composte, per cui possiamo scrivere questo: supponiamo che $v(t)=(x_1(t),...,x_n(t))$ siano le componenti del vettore (complesse): allora
$d/{dt} f(t,v(t))={\partial f}/{\partial t}(t,v(t))+\sum_{k=1}^n {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))\cdot {d x_k}/{dt}(t)$
(nota che, in pradica, si sta usando il Teorema del differenziale totale).
Ok, ti ringrazio innanzitutto per la dritta. A questo punto, se consideriamo una base ${\underline u_k}$ dello spazio vettoriale, essendo $f$ lineare, il secondo termine a secondo membro che hai scritto si può esprimere come segue?
$ \sum_{k=1}^n {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))\cdot {d x_k}/{dt}(t)=f(\sum_{k=1}^n {d x_k}/{dt}(t) \underline u_k)$
$ \sum_{k=1}^n {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))\cdot {d x_k}/{dt}(t)=f(\sum_{k=1}^n {d x_k}/{dt}(t) \underline u_k)$
No nella maniera più assoluta!
Perchè no? Ho ragionato così, tenendo presente che $f$ è un operatore lineare:
$ {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(t,x_1\underline u_1,..., (x_k+h)\underline u_k,...,x_n\underline u_n)-f(t,x_1\underline {u_1},...,x_k\underline {u_k},...,x_n\underline {u_n})}{h}=$
$=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(t,x_1\underline {u_1},...,x_k\underline {u_k},...,x_n\underline {u_n})+f(t,h\underline {u_k})-f(t,x_1\underline {u_1},...,x_k\underline {u_k},...,x_n\underline {u_n})}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(t,h\underline {u_k})}{h}=lim_{h\rightarrow 0} f(t,h/h\underline {u_k})=f(t,\underline {u_k})$
Cosa c'è di sbagliato?
$ {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(t,x_1\underline u_1,..., (x_k+h)\underline u_k,...,x_n\underline u_n)-f(t,x_1\underline {u_1},...,x_k\underline {u_k},...,x_n\underline {u_n})}{h}=$
$=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(t,x_1\underline {u_1},...,x_k\underline {u_k},...,x_n\underline {u_n})+f(t,h\underline {u_k})-f(t,x_1\underline {u_1},...,x_k\underline {u_k},...,x_n\underline {u_n})}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(t,h\underline {u_k})}{h}=lim_{h\rightarrow 0} f(t,h/h\underline {u_k})=f(t,\underline {u_k})$
Cosa c'è di sbagliato?
C'è che le varibili $x_k$ vanno derivate!
Scusami, ma non capisco che vuoi dire...
Sto facendo riferimento a questa somma:
$\sum_{k=1}^n {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))\cdot {d x_k}/{dt}(t)$
Nel mio ultimo post ho valutato solo un generico termine del primo fattore,cioè la derivata parziale di $f$ rispetto ad una certa $x_k$ ottenendo:
$ {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))=f(t,\underline {u_k})$
Le derivate di $x_k$ entrano in gioco ora, quando vado a sostituire nella somma di partenza, in cui si moltiplica ciascuna derivata parziale per la derivata di $x_k$:
$\sum_{k=1}^n {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))\cdot {d x_k}/{dt}(t)=\sum_{k=1}^n f(t,\underline {u_k})\cdot {d x_k}/{dt}(t)=\sum_{k=1}^n f(t,{d x_k}/{dt}(t)\underline {u_k})=f(t,\sum_{k=1}^n {d x_k}/{dt}(t)\underline {u_k})$
Ora, in tutto ciò non ho capito cosa ci sia di sbagliato...puoi spiegarti meglio?
Sto facendo riferimento a questa somma:
$\sum_{k=1}^n {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))\cdot {d x_k}/{dt}(t)$
Nel mio ultimo post ho valutato solo un generico termine del primo fattore,cioè la derivata parziale di $f$ rispetto ad una certa $x_k$ ottenendo:
$ {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))=f(t,\underline {u_k})$
Le derivate di $x_k$ entrano in gioco ora, quando vado a sostituire nella somma di partenza, in cui si moltiplica ciascuna derivata parziale per la derivata di $x_k$:
$\sum_{k=1}^n {\partial f}/{\partial x_k}(t,v(t))\cdot {d x_k}/{dt}(t)=\sum_{k=1}^n f(t,\underline {u_k})\cdot {d x_k}/{dt}(t)=\sum_{k=1}^n f(t,{d x_k}/{dt}(t)\underline {u_k})=f(t,\sum_{k=1}^n {d x_k}/{dt}(t)\underline {u_k})$
Ora, in tutto ciò non ho capito cosa ci sia di sbagliato...puoi spiegarti meglio?
Ah ok. Scusa, non capivo dove diavolo mettevi la $h$! Ok, l'ultimo va bene.
Ok, quindi in definitiva
$d/dt f(t,\underline v (t) )= \frac {\partial f(t,\underline v)}{\partial t} +f(t,\frac {d\underline v}{dt}) $
dove per ${d\underline v} /{dt}$ si intende il vettore $dx_1/dt \underline {u_1}+...+dx_n/dt \underline {u_n} $ essendo ${\underline {u_i}} $ una base dello spazio vettoriale.
Mi confermi quindi questo risultato?
$d/dt f(t,\underline v (t) )= \frac {\partial f(t,\underline v)}{\partial t} +f(t,\frac {d\underline v}{dt}) $
dove per ${d\underline v} /{dt}$ si intende il vettore $dx_1/dt \underline {u_1}+...+dx_n/dt \underline {u_n} $ essendo ${\underline {u_i}} $ una base dello spazio vettoriale.
Mi confermi quindi questo risultato?
Sì, mi sembra funzioni tutto. Ed ha pure senso (a priori del dimostrarlo).
Ok allora...Grazie mille ciampax 
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